Сколько плоскостей, заданных вершинами куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , параллельны прямой D 1 D?

Ответ: 3 плоскости.

Прямая \(DD_1\) — вертикальное ребро куба. Плоскость, проходящая через вершины куба и параллельная этой прямой, должна быть «вертикальной», то есть содержать направление, параллельное \(DD_1\). Её след в основании \(ABCD\) — прямая через две вершины квадрата.

Таких плоскостей всего 6:

\[ ADD_1A_1,\quad DCC_1D_1,\quad BDD_1B_1, \] \[ ABB_1A_1,\quad BCC_1B_1,\quad ACC_1A_1. \]

Первые три проходят через точку \(D\), значит, содержат всю прямую \(DD_1\). По стандартному определению прямая, лежащая в плоскости, не считается параллельной ей.

Остаются три плоскости:

\[ ABB_1A_1,\quad BCC_1B_1,\quad ACC_1A_1. \]

Они не пересекаются с \(DD_1\), поэтому параллельны ей.

Проверка: в основании им соответствуют прямые \(AB\), \(BC\), \(AC\); ни одна не проходит через точку \(D\), то есть с проекцией прямой \(DD_1\) не пересекается.