Подобное объяснить пожалуйста
На фотографии представлены задания на метод введения новой переменной (или метод замены). Его суть проста: нужно найти в уравнении повторяющуюся часть, обозначить её одной буквой, решить более простое уравнение, а затем вернуться к исходной переменной.
Давай разберем принцип на примере 321 (а):
\[ (x^2 + 6x)^2 - 5(x^2 + 6x) = 24 \]
Шаг 1. Вводим замену. Замечаем, что выражение \(x^2 + 6x\) повторяется дважды. Обозначим его за новую переменную \(t\): Пусть \(t = x^2 + 6x\).
Шаг 2. Решаем уравнение относительно \(t\). Подставляем \(t\) в исходное уравнение: \[ t^2 - 5t = 24 \] Переносим 24 влево, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: \[ t^2 - 5t - 24 = 0 \] Решаем его (например, по теореме Виета). Нам нужны два числа, сумма которых равна 5, а произведение -24. Это 8 и -3. \[ t_1 = 8, \quad t_2 = -3 \]
Шаг 3. Обратная замена. Теперь вместо \(t\) подставляем обратно \(x^2 + 6x\). У нас получилось два простых уравнения:
\(x^2 + 6x = 8\) \[ x^2 + 6x - 8 = 0 \] Считаем дискриминант: \(D = 36 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68\). Корни: \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}\).
\(x^2 + 6x = -3\) \[ x^2 + 6x + 3 = 0 \] Считаем дискриминант: \(D = 36 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24\). Корни: \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2} = -3 \pm \sqrt{6}\).
Ответ: \(-3 - \sqrt{17}, \ -3 + \sqrt{17}, \ -3 - \sqrt{6}, \ -3 + \sqrt{6}\).
Важный нюанс (на примере 321 (д)): В некоторых случаях при замене нужно учитывать ограничения. Посмотри на уравнение: \[ (y+2)^4 - (y+2)^2 = 12 \] Здесь удобно заменить \((y+2)^2 = t\). Но так как любое число в квадрате не может быть отрицательным, наша новая переменная должна быть неотрицательной (\(t \ge 0\)). Получаем: \(t^2 - t - 12 = 0\). Корни: \(t_1 = 4, \ t_2 = -3\). Корень \(t = -3\) не подходит, так как \(t \ge 0\). Остается только \(t = 4\). Возвращаемся к замене: \((y+2)^2 = 4 \Rightarrow y+2 = 2\) или \(y+2 = -2\). Отсюда \(y = 0\) или \(y = -4\).
Общий алгоритм для всех подобных заданий:
- Найти повторяющийся блок или его часть, обозначить буквой (например, \(t\)).
- Записать и решить новое уравнение.
- Проверить, нет ли ограничений на \(t\) (например, \(t \ge 0\) при замене квадрата).
- Вернуться к исходной переменной и решить полученные уравнения.
- Записать все получившиеся корни в ответ.
