Реши задание на изображении
Краткий ответ
1 — роза, 0 — астра:
00000000
01111110
01000010
01011010
01011010
01000010
01111110
00000000
Роз — 24, астр — 40. Это максимальное возможное число астр.
Почему так
Главное условие: у каждой клетки ровно две соседние клетки того же типа. Значит, клетки одного вида образуют замкнутые «циклы» по соседям.
Посчитаем, почему роз не может быть меньше 24.
Всего соседних пар клеток в поле \(8\times 8\):
\[ 8\cdot 7\cdot 2=112. \]
Каждая клетка имеет ровно 2 соседа своего типа, поэтому одноцветных соседних пар:
\[ \frac{64\cdot 2}{2}=64. \]
Значит, пар «роза — астра»:
\[ 112-64=48. \]
Пусть:
- \(a\) — число роз во внутренних клетках;
- \(b\) — число роз на сторонах, не в углах.
У астры число соседних роз:
- внутри поля — 2;
- на стороне — 1;
- в углу — 0.
Внутренних клеток \(36\), боковых неугловых \(24\). Получаем:
\[ 2(36-a)+(24-b)=48, \]
\[ 96-2a-b=48, \]
\[ 2a+b=48. \]
Если всего роз \(r\), то \(a+b\le r\), поэтому:
\[ 48=2a+b\le 2(a+b)\le 2r. \]
Отсюда:
\[ r\ge 24. \]
То есть роз минимум 24, а астр максимум:
\[ 64-24=40. \]
В приведённой сетке ровно 24 розы и 40 астр, значит, она оптимальна.
Проверка: на границе стоят только астры; у каждой угловой астры два соседа-астры. Внутри розы образуют замкнутые цепочки, а астры — свои цепочки, поэтому у каждой клетки действительно ровно два соседа того же вида.
