Подробнее объяснить
Краткий ответ:
\[ (2x^2+7x-8)(2x^2+7x-3)-6=0 \]
Корни:
\[ x=1,\qquad x=-\frac92,\qquad x=\frac{-7-\sqrt{65}}4,\qquad x=\frac{-7+\sqrt{65}}4. \]
Как решать
В обеих скобках повторяется одно и то же выражение:
\[ 2x^2+7x. \]
Поэтому удобно сделать замену:
\[ t=2x^2+7x. \]
Тогда
\[ 2x^2+7x-8=t-8, \qquad 2x^2+7x-3=t-3. \]
Уравнение превращается в более простое:
\[ (t-8)(t-3)-6=0. \]
Раскрываем скобки:
\[ t^2-3t-8t+24-6=0, \]
\[ t^2-11t+18=0. \]
Разложим на множители. Нужны два числа, сумма которых \(11\), а произведение \(18\). Это \(2\) и \(9\):
\[ t^2-11t+18=(t-2)(t-9). \]
Значит,
\[ t=2 \quad \text{или} \quad t=9. \]
Теперь возвращаемся к \(x\).
Случай 1: \(t=2\)
\[ 2x^2+7x=2, \]
\[ 2x^2+7x-2=0. \]
Дискриминант:
\[ D=7^2-4\cdot2\cdot(-2)=49+16=65. \]
Корни:
\[ x=\frac{-7\pm\sqrt{65}}{4}. \]
Получаем два корня:
\[ x=\frac{-7-\sqrt{65}}4, \qquad x=\frac{-7+\sqrt{65}}4. \]
Случай 2: \(t=9\)
\[ 2x^2+7x=9, \]
\[ 2x^2+7x-9=0. \]
Дискриминант:
\[ D=7^2-4\cdot2\cdot(-9)=49+72=121. \]
\[ \sqrt D=11. \]
Корни:
\[ x=\frac{-7\pm11}{4}. \]
То есть
\[ x=\frac{4}{4}=1 \]
и
\[ x=\frac{-18}{4}=-\frac92. \]
Проверка одного корня
Возьмём \(x=1\):
\[ 2\cdot1^2+7\cdot1=9. \]
Тогда первая скобка:
\[ 9-8=1, \]
вторая:
\[ 9-3=6. \]
Получаем:
\[ 1\cdot6-6=0. \]
Всё верно.
Главная идея: если в уравнении несколько раз встречается одинаковое выражение, его удобно обозначить новой буквой. После решения обязательно нужно вернуться к исходной переменной \(x\).
