Сделай пж краткий конспект по параграфу
Краткий конспект §32. Множество, подмножество, примеры множеств
Множество — это совокупность объектов, которые называют его элементами. Множества обозначают большими латинскими буквами: \(A, B, \ldots\). Элементы записывают в фигурных скобках: \[ A=\{1,2,3\}. \]
Способы задания множества:
- перечислением элементов: \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\);
- описанием общего свойства: например, «множество дней недели» или «множество натуральных чисел от 1 до 6».
Принадлежность элемента:
- \(a\in A\) — элемент \(a\) принадлежит множеству \(A\);
- \(a\notin A\) — не принадлежит.
Например, если \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), то \(2\in A\), а \(7\notin A\).
Пустое множество обозначают \(\varnothing\). Это множество, в котором нет ни одного элемента.
Подмножество. \(B\subset A\), если каждый элемент множества \(B\) является элементом множества \(A\).
- Пример: множество равнобедренных треугольников — подмножество множества всех треугольников.
- \(\varnothing\subset A\): пустое множество является подмножеством любого множества.
- \(A\subset A\): любое множество является подмножеством самого себя.
- Поэтому \(B\subset A\) не означает, что в \(B\) обязательно меньше элементов: \(B\) может совпадать с \(A\).
Числовые множества: \[ \mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R. \]
- \(\mathbb N\) — натуральные числа: \(1,2,3,\ldots\);
- \(\mathbb Z\) — целые числа: \(\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\);
- \(\mathbb Q\) — рациональные числа, которые можно записать дробью \(\frac mn\);
- \(\mathbb R\) — все числа на координатной прямой.
Например: \(1{,}5\notin\mathbb N\), \(-4\in\mathbb Z\), \(\pi\notin\mathbb Q\).
Числовые промежутки — тоже множества. Например, \[ [a;b]=\{x\mid a\le x\le b\}. \] Запись \(a\le x\le b\) равносильна записи \(x\in[a;b]\).
Главное не путать:
\(\in\) — элемент принадлежит множеству;
\(\subset\) — одно множество является подмножеством другого.
Мини-проверка: если \(A=\{1,2,3\}\), то \(2\in A\), \(5\notin A\), \(\{1,3\}\subset A\), \(\varnothing\subset A\) и \(A\subset A\).
