Решить показательное уравнение методом введения новой переменной

Привет! Давай вместе решим это показательное уравнение. Уравнение выглядит так: \(5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0\).

Чтобы решить его, можно ввести новую переменную, это часто помогает упростить уравнение. В данном случае, можно заметить, что \(5^{2x}\) это квадрат \(5^x\), так что имеем дело с квадратным уравнением относительно \(5^x\).

Шаг 1: Введем новую переменную \(t = 5^x\). Теперь заменим \(5^{2x}\) на \(t^2\) и \(5^x\) на \(t\).

У нас получается уравнение: \(t^2 - 6t + 5 = 0\).

Шаг 2: Решим это уравнение как обычное квадратное уравнение. Для этого найдем корни уравнения через дискриминант или факторизацию.

Давай попробуем факторизацию. Нам нужно найти такие два числа, которые в сумме дают -6, а в произведении 5. Это числа -1 и -5.

Теперь уравнение принимает вид: \((t - 1)(t - 5) = 0\).

Шаг 3: Так как произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Значит, либо \(t - 1 = 0\), либо \(t - 5 = 0\).

Отсюда получаем два корня для \(t\): \(t_1 = 1\) и \(t_2 = 5\).

Шаг 4: Верн