118
а) Доказательство:
б) \(\angle NOM=37{,}5^\circ\) (или \(37^\circ30'\)).
Почему так
Так как \(MN\perp b\) и \(PQ\perp b\), то
\[ \angle MNO=\angle PQO=90^\circ. \]Точка \(O\) — середина \(NQ\), значит
\[ NO=OQ. \]По условию \(MN=PQ\). Поэтому прямоугольные треугольники \(MNO\) и \(PQO\) равны по двум катетам.
Из их равенства следует: \[ MO=PO. \] Значит, треугольник \(MOP\) равнобедренный с основанием \(MP\). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому \[ \angle OMP=\angle OPM. \] Это и требовалось в пункте а.
Пункт б
Из равенства треугольников \(MNO\) и \(PQO\) также следует: \[ \angle NOM=\angle POQ. \] Обозначим каждый из этих углов через \(x\).
Точки \(N,O,Q\) лежат на одной прямой, а \(M\) и \(P\) — по одну сторону от неё. Поэтому углы \(\angle NOM\), \(\angle MOP\) и \(\angle POQ\) вместе составляют развёрнутый угол: \[ \angle NOM+\angle MOP+\angle POQ=180^\circ. \] Подставляем: \[ x+105^\circ+x=180^\circ, \] \[ 2x=75^\circ, \] \[ x=37{,}5^\circ. \]
Значит, \[ \boxed{\angle NOM=37{,}5^\circ}. \]
Проверка: \(37{,}5^\circ+105^\circ+37{,}5^\circ=180^\circ\) — верно.
Обсуждение
5 сообщений124
Ответ:
\[
KF=8\text{ см},\qquad \angle DEK=86^\circ,\qquad \angle EFD=90^\circ.
\]
Решение
Треугольник \(DEK\) равнобедренный с основанием \(DK\), значит: \[ DE=EK. \] Отрезок \(EF\) — биссектриса угла при вершине \(E\), проведённая к основанию. В равнобедренном треугольнике такая биссектриса является также медианой и высотой.
Поэтому \(F\) — середина \(DK\): \[ KF=\frac{DK}{2}=\frac{16}{2}=8\text{ см}. \]
Так как \(EF\) — биссектриса, \[ \angle DEK=2\angle DEF=2\cdot43^\circ=86^\circ. \]
\(EF\) — высота к основанию \(DK\), следовательно: \[ \angle EFD=90^\circ. \]
Проверка: углы при основании равны
\[
\angle EDK=\angle EKD=\frac{180^\circ-86^\circ}{2}=47^\circ.
\]
В треугольнике \(EFD\):
\[
43^\circ+47^\circ+90^\circ=180^\circ.
\]
125
125
Доказательство
В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\): \[ AB=BC. \] Так как \(BD\) — медиана, то \[ AD=DC. \] Кроме того, \(BD\) — общая сторона треугольников \(ABD\) и \(CBD\). Значит, \[ \triangle ABD=\triangle CBD \] по трём сторонам. Отсюда \[ \angle ABD=\angle CBD, \] то есть \(BD\) — биссектриса угла \(ABC\).
По условию \(AE=CF\). Тогда \[ BE=AB-AE=BC-CF=BF. \]
а) \(\triangle BDE=\triangle BDF\)
Рассмотрим треугольники \(BDE\) и \(BDF\):
- \(BE=BF\) — доказали выше;
- \(BD\) — общая сторона;
- \(\angle EBD=\angle FBD\), так как \(BD\) — биссектриса угла \(ABC\).
Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними: \[ \boxed{\triangle BDE=\triangle BDF}. \]
б) \(\triangle ADE=\triangle CDF\)
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \[ \angle BAC=\angle BCA. \] Поскольку \(D\) лежит на \(AC\), \(E\) — на \(AB\), \(F\) — на \(CB\), то \[ \angle DAE=\angle DCF. \]
Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CDF\):
- \(AD=DC\);
- \(AE=CF\) по условию;
- \(\angle DAE=\angle DCF\).
Следовательно, по двум сторонам и углу между ними: \[ \boxed{\triangle ADE=\triangle CDF}. \]
Оба утверждения доказаны.
