Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

$$x_1 = 2,\qquad x_2 = 3$$

Почему так: три способа увидеть одно и то же

1. Теорема Виета (быстрый путь, когда $a = 1$)

Для уравнения $x^2 + bx + c = 0$ сумма корней равна $-b$, а произведение — $c$:

$$x_1 + x_2 = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = 6$$

Ищем два числа с произведением 6: это $1\cdot 6$ или $2\cdot 3$. Сумма 5 даёт только пара $2$ и $3$. Значит, корни — $2$ и $3$.

2. Дискриминант (универсальный путь)

Здесь $a = 1,\ b = -5,\ c = 6$:

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

$D > 0$ — корней два:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}$$

$$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2,\qquad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

3. Разложение на множители (то же самое, но короче)

Если корни $2$ и $3$, то квадратный трёхчлен раскладывается так:

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей нулевой: $x - 2 = 0$ или $x - 3 = 0$.

Проверка

$$2^2 - 5\cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\ \checkmark$$ $$3^2 - 5\cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\ \checkmark$$

Принцип для похожих заданий

1. Уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ решается через $D = b^2 - 4ac$.
2. Знак $D$ сразу говорит, сколько корней: $D > 0$ — два, $D = 0$ — один, $D < 0$ — корней нет.
3. Если $a = 1$ и корни «красивые», Виета экономит время: подбираешь числа по сумме и произведению.
4. Всегда подставляй найденные корни обратно — это ловит ошибки в знаках, которые встречаются чаще всего.