Кратко решение
Краткий ответ: да, такая плоскость существует, и она ровно одна.
Почему так:
- Возьмём любую точку \(A\) на прямой \(a\).
- Через точку \(A\) проходит единственная плоскость \(\beta\), параллельная \(\alpha\). Она имеет тот же «наклон», что и \(\alpha\).
- Так как \(a\parallel \alpha\), направление прямой \(a\) параллельно плоскости \(\alpha\). Значит, это направление лежит и в плоскости \(\beta\).
- Поэтому вся прямая \(a\), проходящая через \(A\) с этим направлением, лежит в \(\beta\):
\[ a\subset \beta. \] - Другой такой плоскости быть не может: любая плоскость через \(a\), параллельная \(\alpha\), должна проходить через \(A\) и иметь тот же наклон, а через точку проходит только одна такая плоскость.
Проверка на координатах.
Пусть \(\alpha:\ z=0\), а прямая \(a\) лежит в плоскости \(z=1\) и идёт вдоль оси \(Ox\). Плоскости, параллельные \(\alpha\), имеют вид \(z=c\). Чтобы содержать \(a\), нужно \(c=1\), то есть подходит только плоскость \(z=1\). Значит, она единственная.
Обсуждение
2 сообщенияКак записать в тетрадь
Вот как это записать в тетрадь — коротко и по шагам:
Задача. Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\). Докажите, что через \(a\) проходит единственная плоскость, параллельная \(\alpha\).
Дано: \(a \parallel \alpha\).
Доказать: существует единственная плоскость \(\beta\) такая, что \(a \subset \beta\) и \(\beta \parallel \alpha\).
Доказательство.
- Возьмём точку \(A \in a\).
- Через точку \(A\) проведём плоскость \(\beta \parallel \alpha\). Такая плоскость единственна.
- Так как \(a \parallel \alpha\), прямая \(a\) не пересекает \(\alpha\), поэтому её направление параллельно \(\alpha\), а значит, и \(\beta\).
- Прямая \(a\) проходит через точку \(A \in \beta\) и параллельна \(\beta\), следовательно, \(a \subset \beta\).
- Единственность. Пусть \(\gamma\) — другая плоскость, \(\gamma \parallel \alpha\) и \(a \subset \gamma\). Тогда \(\gamma\) проходит через \(A\) и параллельна \(\alpha\). Но через точку проходит только одна плоскость, параллельная данной, значит \(\gamma = \beta\).
Ч. т. д.
Если нужно, могу записать это ещё короче — в 3–4 строки.
