Методы "степени с натуральным показателем и ее свойства" 6 пунктов
Кратко: степень \(a^n\) — это произведение \(n\) одинаковых множителей \(a\): \[ a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ раз}},\qquad n\in\mathbb N . \] Здесь \(a\) — основание, \(n\) — показатель. Основные 6 пунктов по теме:
Определение степени и частные случаи
\[ a^1=a,\qquad 1^n=1,\qquad 0^n=0. \] Пример: \(5^3=5\cdot5\cdot5=125\).Умножение степеней с одинаковыми основаниями
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \] Пример: \(x^2\cdot x^3=x^5\).
Принцип: всего множителей становится \(m+n\).Деление степеней с одинаковыми основаниями
\[ a^m:a^n=a^{m-n}\quad (a\ne0,\ m>n). \] Пример: \(x^7:x^3=x^4\).
Если \(m=n\), то \(a^m:a^m=1\). Случай \(a^0\) изучается отдельно.Возведение степени в степень
\[ (a^m)^n=a^{mn}. \] Пример: \((x^3)^2=x^6\).
Показатели при этом перемножаются.Степень произведения
\[ (ab)^n=a^n b^n. \] Пример: \((2x)^3=2^3x^3=8x^3\).Степень дроби
\[ \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\qquad b\ne0. \] Пример: \(\left(\frac23\right)^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac49\).
Проверка на примере: \[ \frac{(2^3)^2\cdot 2^4}{2^6} =\frac{2^6\cdot2^4}{2^6} =2^{6+4-6} =2^4=16. \] Главное: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются, а при возведении степени в степень — перемножаются.
