102 номер
Краткий ответ
\[ y=-x^2+2x+8=-(x-1)^2+9 \]
Это парабола, ветви вниз, вершина \((1;9)\), ось симметрии \(x=1\).
а)
\[
y(2{,}5)=6{,}75,\quad y(-0{,}5)=6{,}75,\quad y(-3)=-7.
\]
б)
\[
y=6:\ x=1\pm\sqrt3 \approx -0{,}73;\ 2{,}73;
\]
\[
y=0:\ x=-2;\ 4;
\]
\[
y=-2:\ x=1\pm\sqrt{11}\approx -2{,}32;\ 4{,}32.
\]
в)
Нули функции: \(x=-2\) и \(x=4\), то есть точки \((-2;0)\), \((4;0)\).
\[ y>0 \text{ при } -2<x<4; \] \[ y<0 \text{ при } x<-2 \text{ или } x>4. \]
г)
Функция возрастает при \(x\le 1\) и убывает при \(x\ge 1\).
Область значений:
\[
E(y)=(-\infty;9].
\]
Как построить график
Сначала находим вершину:
\[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1, \] \[ y_0=-(1)^2+2\cdot1+8=9. \]
Значит, вершина — \((1;9)\), ветви направлены вниз.
Полезно взять точки:
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-7\) | \(0\) | \(5\) | \(8\) | \(9\) | \(8\) | \(5\) | \(0\) | \(-7\) |
Через эти точки проводим плавную параболу. Она пересекает ось \(x\) в точках \(x=-2\) и \(x=4\).
Почему получаются такие ответы
а) Значение функции при заданном \(x\)
Подставляем \(x\) в формулу:
\[ y(2{,}5)=-(2{,}5)^2+2\cdot2{,}5+8=6{,}75. \]
\[ y(-0{,}5)=-(-0{,}5)^2+2\cdot(-0{,}5)+8=6{,}75. \]
\[ y(-3)=-(-3)^2+2\cdot(-3)+8=-9-6+8=-7. \]
Заметим, что \(2{,}5\) и \(-0{,}5\) симметричны относительно оси \(x=1\), поэтому значения функции в них одинаковы.
б) Значение аргумента при заданном \(y\)
Решаем уравнения.
Для \(y=6\):
\[ -x^2+2x+8=6, \] \[ x^2-2x-2=0, \] \[ x=1\pm\sqrt3. \]
Для \(y=0\):
\[ -x^2+2x+8=0, \] \[ x^2-2x-8=0, \] \[ x=-2;\ 4. \]
Для \(y=-2\):
\[ -x^2+2x+8=-2, \] \[ x^2-2x-10=0, \] \[ x=1\pm\sqrt{11}. \]
в) Нули и промежутки знакопостоянства
Корни \(x=-2\) и \(x=4\) делят ось на три промежутка. Так как ветви параболы направлены вниз, график выше оси \(x\) находится между корнями:
\[ -2<x<4. \]
Ниже оси \(x\) — слева и справа:
\[ x<-2 \quad \text{или}\quad x>4. \]
г) Возрастание, убывание и область значений
Вершина \((1;9)\) — самая высокая точка, потому что ветви вниз. Поэтому максимальное значение функции равно \(9\), а меньшие значения она принимает неограниченно:
\[ y\le 9. \]
До \(x=1\) график поднимается — функция возрастает. После \(x=1\) график опускается — функция убывает.
