Составь два самых сложных заданий по ОГЭ по Алгебре 9 класс
Краткий ответ
Самые тяжёлые алгебраические номера ОГЭ — из второй части: №20 (преобразование выражения) и №21 (уравнение). Вот два задания уровня «максимум» и их ответы:
- Упростить: \(\dfrac{a^2-4}{a^2+4a+4}\cdot\left(\dfrac{a+2}{a-2}-\dfrac{a-2}{a+2}\right):\dfrac{8a}{4-a^2}\) → \(\dfrac{2-a}{a+2}\), при \(a\ne 0;\ \pm2\).
- Решить уравнение: \((x^2-3x)^2-2(x^2-3x)-8=0\) → \(x=-1;\ 1;\ 2;\ 4\).
Ниже — как к этому прийти.
Задание 1 (№20). Упростить выражение
\[ \frac{a^2-4}{a^2+4a+4}\cdot\left(\frac{a+2}{a-2}-\frac{a-2}{a+2}\right):\frac{8a}{4-a^2} \]
Принцип: сначала разложить всё на множители, потом действия в скобках, потом умножение/деление (деление = умножение на перевёрнутую дробь).
Шаг 1. Разложение на множители. \[ a^2-4=(a-2)(a+2),\qquad a^2+4a+4=(a+2)^2,\qquad 4-a^2=-(a-2)(a+2) \] Поэтому первая дробь сразу сокращается: \[ \frac{(a-2)(a+2)}{(a+2)^2}=\frac{a-2}{a+2} \]
Шаг 2. Скобка — к общему знаменателю \((a-2)(a+2)=a^2-4\). \[ \frac{a+2}{a-2}-\frac{a-2}{a+2}=\frac{(a+2)^2-(a-2)^2}{a^2-4} \] В числителе разность квадратов: \(\big((a+2)-(a-2)\big)\big((a+2)+(a-2)\big)=4\cdot 2a=8a\). \[ \text{Скобка}=\frac{8a}{a^2-4} \]
Шаг 3. Умножение. \[ \frac{a-2}{a+2}\cdot\frac{8a}{a^2-4}=\frac{8a(a-2)}{(a+2)(a-2)(a+2)}=\frac{8a}{(a+2)^2} \]
Шаг 4. Деление на \(\dfrac{8a}{4-a^2}\) — умножаем на перевёрнутую дробь. \[ \frac{8a}{(a+2)^2}\cdot\frac{4-a^2}{8a}=\frac{-(a^2-4)}{(a+2)^2}=\frac{-(a-2)(a+2)}{(a+2)^2}=-\frac{a-2}{a+2}=\frac{2-a}{a+2} \]
ОДЗ (за неё снимают балл): \(a\ne 2\), \(a\ne -2\) (знаменатели), \(a\ne 0\) (делим на \(8a\)). Итог: \(a\ne 0;\ \pm2\).
Проверка: при \(a=1\) исходное выражение даёт \(\left(-\tfrac13\right)\cdot\left(-\tfrac83\right):\tfrac83=\tfrac13\), и формула \(\dfrac{2-1}{1+2}=\dfrac13\). ✔
Задание 2 (№21). Решить уравнение
\[ (x^2-3x)^2-2(x^2-3x)-8=0 \]
Принцип: одинаковый «блок» \(x^2-3x\) встречается дважды — вводим замену, решаем квадратное, затем обязательно возвращаемся к \(x\). Корней может быть больше двух.
Шаг 1. Замена \(t=x^2-3x\): \[ t^2-2t-8=0 \] По Виету: \(t_1+t_2=2,\ t_1t_2=-8\) → \(t=4\) или \(t=-2\).
Шаг 2. Возврат к \(x\) — два уравнения.
\(t=4:\quad x^2-3x-4=0 \Rightarrow (x-4)(x+1)=0 \Rightarrow x=4,\ x=-1\)
\(t=-2:\quad x^2-3x+2=0 \Rightarrow (x-1)(x-2)=0 \Rightarrow x=1,\ x=2\)
Ответ: \(x=-1;\ 1;\ 2;\ 4\).
Проверка: \(x=4:\ (16-12)^2-2\cdot4-8=16-8-8=0\); \(x=1:\ (1-3)^2-2\cdot(-2)-8=4+4-8=0\). ✔
Что запомнить, чтобы решать похожие
- №20: разложи на множители → сократи до скобок → скобку к общему знаменателю → деление замени умножением на обратную дробь → выпиши ОДЗ (все знаменатели ≠ 0 и делитель ≠ 0).
- №21: ищи повторяющийся блок → замена \(t\) → реши квадратное → вернись к \(x\) и реши каждое из получившихся уравнений → проверь подстановкой.
- Частые потери баллов: сокращение без учёта ОДЗ; забытый второй корень \(t\); деление уравнения на выражение с \(x\).
Обсуждение
6 сообщенийпридумай самостоятельную работу по алгебре 9 класс
Самостоятельная работа по алгебре, 9 класс
Тема: преобразования дробно-рациональных выражений, уравнения с заменой переменной, неравенства, прогрессии, квадратичная функция. Время: 40–45 минут. 2 варианта. Калькулятор не используется. Каждое задание оценивается в 1 балл, №6 — 2 балла (максимум 7). Баллы → оценка указаны в конце.
Вариант 1
1. Упростите выражение и укажите допустимые значения \(b\):
\[ \frac{b^2-9}{b^2-6b+9}\cdot\left(\frac{b-3}{b+3}-\frac{b+3}{b-3}\right) \]
2. Решите уравнение:
\[ (x^2+2x)^2-2(x^2+2x)-3=0 \]
3. Решите неравенство:
\[ -2x^2+7x-3 \ge 0 \]
4. Решите систему уравнений:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=25 \\ x+y=7 \end{cases} \]
5. Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 40, а сумма первых десяти — 130. Найдите первый член и разность прогрессии.
6. Для функции \(y=x^2-4x+3\) найдите: а) нули; б) координаты вершины; в) при каких \(x\) значение функции отрицательно.
Вариант 2
1. Упростите выражение и укажите допустимые значения \(m\):
\[ \frac{m^2-16}{m^2+8m+16}\cdot\left(\frac{m-4}{m+4}-\frac{m+4}{m-4}\right) \]
2. Решите уравнение:
\[ (x^2+3x)^2-2(x^2+3x)-8=0 \]
3. Решите неравенство:
\[ -3x^2+5x+2 \ge 0 \]
4. Решите систему уравнений:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=13 \\ x+y=5 \end{cases} \]
5. Первый член геометрической прогрессии равен 3, знаменатель равен 2. Найдите сумму первых шести членов.
6. Для функции \(y=-x^2+6x-5\) найдите: а) нули; б) координаты вершины; в) при каких \(x\) значение функции положительно.
Ответы для самопроверки
Вариант 1
- \(-\dfrac{12b}{(b-3)^2}\), где \(b\ne\pm3\).
- \(x=-3;\ -1;\ 1\) (у \(t=-1\) корень \(x=-1\) один).
- \(x\in[0{,}5;\ 3]\).
- \((3;4)\), \((4;3)\).
- \(a_1=4,\ d=2\).
- а) \(x=1;\ 3\); б) \((2;-1)\); в) \(x\in(1;3)\).
Вариант 2
- \(-\dfrac{16m}{(m+4)^2}\), где \(m\ne-4\) (знаменатель второй дроби даёт ещё \(m\ne4\), хотя он сокращается — в ответе его указать нужно).
- \(x=-4;\ -2;\ -1;\ 1\).
- \(x\in\left[-\dfrac13;\ 2\right]\).
- \((2;3)\), \((3;2)\).
- \(S_6=3\cdot\dfrac{2^6-1}{2-1}=189\).
- а) \(x=1;\ 5\); б) \((3;4)\); в) \(x\in(1;5)\).
Как проверять и оценивать
- 6–7 баллов → «5», 5 баллов → «4», 3–4 балла → «3», 0–2 → тему нужно повторить.
- В №1 балл снижается, если не выписаны ограничения на переменную.
- В №2 балл снижается, если найден только один корень квадратного уравнения относительно \(t\) или не выполнен возврат к \(x\).
- В №3 ответ записывайте промежутком, а не неравенством — это требование ОГЭ.
- В №4 обязательна запись ответа парами \((x;y)\).
Если хочешь, могу сделать разбор любого номера по шагам — скажи, какой вариант и какое задание решаем.
дай такое же только припер и ответ
Самостоятельная работа по алгебре, 9 класс — вариант для тренировки
Те же темы и тот же уровень, что и в предыдущей работе. Внизу — только ответы для самопроверки.
Вариант 1
1. Упростите выражение и укажите допустимые значения \(d\):
\[ \frac{d^2-1}{d^2+2d+1}:\left(\frac{d-1}{d+1}-\frac{d+1}{d-1}\right) \]
2. Решите уравнение:
\[ (x^2-2x)^2-(x^2-2x)-6=0 \]
3. Решите неравенство:
\[ 3x^2-5x+2\le 0 \]
4. Решите систему уравнений:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=25 \\ xy=12 \end{cases} \]
5. В арифметической прогрессии \(a_4=11\), \(a_9=26\). Найдите \(a_1\), разность \(d\) и сумму первых десяти членов.
6. Для функции \(y=x^2+2x-8\) найдите: а) нули; б) координаты вершины; в) при каких \(x\) значение функции отрицательно.
Вариант 2
1. Упростите выражение и укажите допустимые значения \(e\):
\[ \frac{e^2-4}{e^2-4e+4}:\left(\frac{e+2}{e-2}-\frac{e-2}{e+2}\right) \]
2. Решите уравнение:
\[ (x^2+4x)^2-2(x^2+4x)-15=0 \]
3. Решите неравенство:
\[ 2x^2+3x-5\le 0 \]
4. Решите систему уравнений:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=13 \\ xy=6 \end{cases} \]
5. В арифметической прогрессии \(a_3=7\), \(a_8=22\). Найдите \(a_1\), разность \(d\) и сумму первых десяти членов.
6. Для функции \(y=-x^2+4x+5\) найдите: а) нули; б) координаты вершины; в) при каких \(x\) значение функции положительно.
Ответы
| № | Вариант 1 | Вариант 2 |
|---|---|---|
| 1 | \(-\dfrac{(d-1)^2}{4d}\), \(d\ne 0;\ \pm1\) | \(\dfrac{(e+2)^2}{8e}\), \(e\ne 0;\ \pm2\) |
| 2 | \(x=-1;\ 3\) | \(x=-5;\ -3;\ -1;\ 1\) |
| 3 | \(x\in\left[\dfrac23;\ 1\right]\) | \(x\in[-2{,}5;\ 1]\) |
| 4 | \((3;4)\), \((4;3)\), \((-3;-4)\), \((-4;-3)\) | \((2;3)\), \((3;2)\), \((-2;-3)\), \((-3;-2)\) |
| 5 | \(a_1=2,\ d=3,\ S_{10}=155\) | \(a_1=1,\ d=3,\ S_{10}=145\) |
| 6 | а) \(x=-4;\ 2\); б) \((-1;-9)\); в) \(x\in(-4;\ 2)\) | а) \(x=-1;\ 5\); б) \((2;\ 9)\); в) \(x\in(-1;\ 5)\) |
В №3–4 и №6 ответ записывай промежутками и парами — как требуют на ОГЭ.
литература 5 класс 1 часть учебника стр 112- 120( ночь перед Рождеством) выпиши непонятные слова и раскрой их значение
учебник 2023 года
