Реши задание на изображении
На фото несколько задач — ниже решения всех: 380–384.
Краткие ответы:
380 — 2 броска; 381 — 12 саженцев; 382 — 1,75 решки; 383 — 0,1; 384 — 9,9 упаковки.
380
По рисунку у вершин тетраэдра числа \(1,2,3,4\), их сумма равна \(10\). Поэтому \[ p_2=\frac{2}{10},\qquad p_3=\frac{3}{10}, \] а вероятность остановки за один бросок \[ p=p_2+p_3=\frac{2+3}{10}=\frac12. \] Число бросков до первого успеха имеет геометрическое распределение, значит \[ E N=\frac1p=\frac1{1/2}=2. \] Ответ: 2.
381
Если купить \(n\) саженцев, то математическое ожидание числа прижившихся:
\[
E X=0{,}85n.
\]
Нужно
\[
0{,}85n\ge 10.
\]
Отсюда
\[
n\ge \frac{10}{0{,}85}=\frac{200}{17}\approx 11{,}76.
\]
Число саженцев целое, поэтому берём \(n=12\).
Проверка: при 11 саженцах \(E X=9{,}35<10\), при 12 — \(E X=10{,}2\ge 10\).
Ответ: 12.
382
Пусть \(K\) — число очков на кубике, \(X\) — число решек.
При \(K\) бросаниях монеты
\[
E(X\mid K)=\frac K2.
\]
Среднее число очков на кубике:
\[
E K=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3{,}5.
\]
Значит
\[
E X=E\left(\frac K2\right)=\frac{3{,}5}{2}=1{,}75.
\]
Ответ: \(1{,}75\), или \(\frac74\).
383
Средний срок службы \(6000\) ч, а техобслуживание — каждые \(600\) ч. Значит, в среднем приходится \[ \frac{6000}{600}=10 \] промежутков между обслуживаниями.
Если \(p\) — вероятность того, что при очередном обслуживании потребуется капитальный ремонт, то среднее число обслуживаний до первого такого события равно \(1/p\). Поэтому \[ \frac1p=10 \quad\Rightarrow\quad p=0{,}1. \] Ответ: \(0{,}1\).
Примечание: здесь используется стандартная школьная модель, в которой вероятность обнаружения необходимости ремонта при каждом обслуживании постоянна. Строго говоря, по одному среднему сроку без этого предположения вероятность не определяется.
384
Рассмотрим одну упаковку лекарства. Она не будет собрана, если робот ошибётся в обеих попытках: \[ (1-0{,}9)^2=0{,}1^2=0{,}01. \] Значит, вероятность собрать одну упаковку: \[ 1-0{,}01=0{,}99. \] Всего упаковок 10, поэтому \[ E X=10\cdot 0{,}99=9{,}9. \] Ответ: \(9{,}9\).
