Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- Пример 2: \(x=3\), \(x=4\).
- Пример 3: \(f(x)>0\) на \((-\infty;-2)\cup(0;2)\); \(f(x)<0\) на \((-2;0)\cup(2;+\infty)\).
- Пример 4: \(f(x)>0\) на \((3;+\infty)\); \(f(x)<0\) на \((-\infty;0)\cup(0;3)\); \(f(0)=0\).
- Пример 5: \(f(x)>0\) на \((-\infty;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)\); \(f(x)<0\) на \((-\sqrt2;0)\cup(0;\sqrt2)\); \(f(0)=0\).
- Пример 6: на фото нет самой формулы функции — нужно уточнить.
Как действовать (принцип):
- Нули функции — это решения уравнения \(f(x)=0\). Они являются границами возможной смены знака.
- Для интервалов знакопостоянства отметь нули на числовой прямой и разбей область определения на промежутки.
- На каждом промежутке возьми пробную точку и определи знак \(f(x)\).
- Запиши, где функция положительна, а где отрицательна. Сами нули в строгие интервалы не включаются.
Пример 2.
\(x^2-7x+12=0\).
По теореме Виета: \(x_1+x_2=7\), \(x_1x_2=12\), поэтому \(x_1=3\), \(x_2=4\).
Проверка: \(3^2-7\cdot3+12=9-21+12=0\).
Пример 3.
\(x^3-4x=x(x-2)(x+2)\). Нули: \(-2,\ 0,\ 2\).
Пробные точки:
\(x=-3:\ f=-15<0\);
\(x=-1:\ f=3>0\);
\(x=1:\ f=-3<0\);
\(x=3:\ f=15>0\).
Знаки чередуются: \(-,+,-,+\). Отсюда получаем ответ.
Пример 4.
\(x^3-3x^2=x^2(x-3)\). Нули: \(0\) (кратность 2) и \(3\).
Пробы:
\(x=-1:\ f=-4<0\);
\(x=1:\ f=-2<0\);
\(x=4:\ f=16>0\).
В точке \(0\) знак не меняется, так как множитель \(x^2\) неотрицателен.
Пример 5.
\(x^4-2x^2=x^2(x^2-2)=x^2(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\). Нули: \(-\sqrt2,\ 0,\ \sqrt2\).
Пробы:
\(x=-2:\ f=8>0\);
\(x=-1:\ f=-1<0\);
\(x=1:\ f=-1<0\);
\(x=2:\ f=8>0\).
В нуле \(0\) знак не меняется (кратность 2).
Проверка. Подстановка нулей даёт \(0\), а пробные точки подтверждают знаки. Общее правило: между соседними нулями знак постоянен, поэтому достаточно одной точки. Если корень чётной кратности, знак при переходе через него не меняется.
Пример 6. Формулы не видно на изображении. Какая функция в примере 6?
Обсуждение
4 сообщенияЭто задание по той же теме — нули функции, поэтому решаю здесь.
Нуль функции — это значение \(x\), при котором \(f(x)=0\):
\[ 7x-35=0 \]
\[ 7x=35 \]
\[ x=5 \]
Ответ: \(x=5\).
Проверка: \(f(5)=7\cdot5-35=35-35=0\).
Опиши свои действия
Мои действия были такими:
- Понял, что это продолжение той же темы — нахождение нулей функции.
- Прочитал условие: \(f(x)=7x-35\), нужно найти нули.
- Записал определение нуля функции: \[ f(x)=0 \]
- Подставил выражение: \[ 7x-35=0 \]
- Перенёс число вправо: \[ 7x=35 \]
- Разделил обе части на 7: \[ x=5 \]
- Сделал проверку: \[ f(5)=7\cdot5-35=0 \]
Ответ: \(x=5\).
