154
Кратко:
а) \(1\); б) \(a\); в) \(x^2+1\); г) \(-m\).
Общий принцип: сначала упрощаем каждую скобку отдельно — приводим дроби к общему знаменателю, затем складываем/вычитаем. После этого выполняем умножение или деление; деление заменяем умножением на обратную дробь. Все сокращения делаем только после разложения на множители.
а) \(\left(\frac1y+\frac2{x-y}\right)\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)\)
Первая скобка:
\[ \frac1y+\frac2{x-y} =\frac{x-y+2y}{y(x-y)} =\frac{x+y}{y(x-y)}. \]
Вторая скобка:
\[ x-\frac{x^2+y^2}{x+y} =\frac{x(x+y)-(x^2+y^2)}{x+y} =\frac{xy-y^2}{x+y} =\frac{y(x-y)}{x+y}. \]
Умножаем:
\[ \frac{x+y}{y(x-y)}\cdot \frac{y(x-y)}{x+y}=1. \]
Ответ: \(1\).
Ограничения: \(y\ne0,\ x\ne y,\ x\ne -y\).
б) \(\left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right):\left(\frac{a-b}{a+b}+\frac ba\right)\)
Первая скобка:
\[ a+b-\frac{2ab}{a+b} =\frac{(a+b)^2-2ab}{a+b} =\frac{a^2+b^2}{a+b}. \]
Вторая скобка:
\[ \frac{a-b}{a+b}+\frac ba =\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)} =\frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)} =\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}. \]
Делим:
\[ \frac{a^2+b^2}{a+b}:\frac{a^2+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a+b}\cdot\frac{a(a+b)}{a^2+b^2} =a. \]
Ответ: \(a\).
Ограничения: \(a\ne0,\ a+b\ne0\).
в) \((x^2-1)\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}+1\right)\)
Сначала упростим скобку:
\[ \frac1{x-1}-\frac1{x+1} =\frac{x+1-(x-1)}{(x-1)(x+1)} =\frac2{x^2-1}. \]
Тогда вся скобка:
\[ \frac2{x^2-1}+1 =\frac2{x^2-1}+\frac{x^2-1}{x^2-1} =\frac{x^2+1}{x^2-1}. \]
Умножаем:
\[ (x^2-1)\cdot\frac{x^2+1}{x^2-1}=x^2+1. \]
Ответ: \(x^2+1\).
Ограничения: \(x\ne1,\ x\ne -1\).
г) \(\left(m+1-\frac1{1-m}\right):\left(m-\frac{m^2}{m-1}\right)\)
Полезно заметить:
\[ -\frac1{1-m}=+\frac1{m-1}. \]
Первая скобка:
\[ m+1+\frac1{m-1} =\frac{(m+1)(m-1)+1}{m-1} =\frac{m^2-1+1}{m-1} =\frac{m^2}{m-1}. \]
Вторая скобка:
\[ m-\frac{m^2}{m-1} =\frac{m(m-1)-m^2}{m-1} =\frac{m^2-m-m^2}{m-1} =\frac{-m}{m-1}. \]
Делим:
\[ \frac{m^2}{m-1}:\frac{-m}{m-1} = \frac{m^2}{m-1}\cdot\frac{m-1}{-m} =-m. \]
Ответ: \(-m\).
Ограничения: \(m\ne1,\ m\ne0\).
Проверка подстановкой.
Возьмём допустимые значения:
- а) \(x=3,\ y=2\): выражение равно \(1\);
- б) \(a=3,\ b=2\): получается \(3=a\);
- в) \(x=3\): получается \(10=x^2+1\);
- г) \(m=3\): получается \(-3=-m\).
Всё совпадает.
