Реши задание на изображении

Кратко (действительные корни)

№ 223.
а) \(x=\pm 3\);
б) \(y=\pm 2,\ y=\pm\sqrt2\);
в) корней нет.

№ 224.
а) \(x=\pm 3,\ x=\pm 4\);
б) корней нет;
в) \(x=\pm\sqrt2\).

№ 225. На фото не видно, с какой осью искать пересечение, поэтому:
с осью \(Ox\):
а) \((-2;0),(-1;0),(1;0),(2;0)\);
б) \((-\sqrt2;0),(\sqrt2;0)\).
Если нужны точки с осью \(Oy\):
а) \((0;4)\);
б) \((0;-10)\).

Как решать

Биквадратное уравнение имеет вид
\[ ax^4+bx^2+c=0. \] Делаем замену \[ u=x^2,\qquad u\ge 0. \] Получаем обычное квадратное уравнение. Найденные отрицательные \(u\) отбрасываем, потому что квадрат действительного числа не бывает отрицательным.

Пример — № 223 а): \[ x^4-5x^2-36=0. \] Пусть \(u=x^2\): \[ u^2-5u-36=0. \] По теореме Виета: \[ u=9 \quad \text{или}\quad u=-4. \] Корень \(-4\) не подходит. Значит: \[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3. \] Проверка для \(x=3\): \[ 3^4-5\cdot3^2-36=81-45-36=0. \]

№ 223 б): \[ y^4-6y^2+8=0 \] \[ (y^2-2)(y^2-4)=0. \] Отсюда \(y^2=2\) или \(y^2=4\), поэтому \[ y=\pm\sqrt2,\quad y=\pm2. \]

№ 223 в): \[ t^4+10t^2+25=(t^2+5)^2=0. \] Но \(t^2+5>0\), значит действительных корней нет.

№ 224 а): \[ x^4-25x^2+144=0 \] \[ (x^2-9)(x^2-16)=0. \] Поэтому \[ x=\pm3,\quad x=\pm4. \]

№ 224 б):
Все слагаемые неотрицательны: \[ y^4+14y^2+48>0, \] поэтому действительных корней нет.

№ 224 в): \[ x^4-4x^2+4=(x^2-2)^2=0. \] Значит \[ x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt2. \]

№ 225. Пересечение с осью \(Ox\) — это точки, где \(y=0\).

а) \[ x^4-5x^2+4=0 \] \[ (x^2-1)(x^2-4)=0. \] Отсюда \(x=\pm1,\ \pm2\).

б) \[ x^4+3x^2-10=0 \] \[ (x^2+5)(x^2-2)=0. \] Подходит только \(x^2=2\), значит \(x=\pm\sqrt2\).