Разложите на простые множители числа:54;231;6724;20736;254016

Кратко:

\[ \begin{aligned} 54&=2\cdot 3^3\\ 231&=3\cdot 7\cdot 11\\ 6724&=2^2\cdot 41^2\\ 20736&=2^8\cdot 3^4\\ 254016&=2^6\cdot 3^4\cdot 7^2 \end{aligned} \]

В развёрнутом виде:

\[ \begin{aligned} 54&=2\cdot3\cdot3\cdot3\\ 231&=3\cdot7\cdot11\\ 6724&=2\cdot2\cdot41\cdot41\\ 20736&=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\\ 254016&=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot7\cdot7 \end{aligned} \]

Как рассуждать:

1. 54 делится на \(2\):
   \(54:2=27\), а \(27=3^3\). Значит, \(54=2\cdot3^3\).

2. 231: сумма цифр \(2+3+1=6\), значит, делится на \(3\):
   \(231:3=77=7\cdot11\). Поэтому \(231=3\cdot7\cdot11\).

3. 6724 удобно заметить как квадрат:
   \[ 6724=82^2,\quad 82=2\cdot41, \] поэтому \[ 6724=(2\cdot41)^2=2^2\cdot41^2. \]

4. 20736 тоже квадрат:
   \[ 20736=144^2,\quad 144=2^4\cdot3^2. \] Тогда \[ 20736=(2^4\cdot3^2)^2=2^8\cdot3^4. \]

5. 254016 также квадрат:
   \[ 254016=504^2,\quad 504=2^3\cdot3^2\cdot7. \] Следовательно, \[ 254016=(2^3\cdot3^2\cdot7)^2=2^6\cdot3^4\cdot7^2. \]

Проверка: \[ 2^2\cdot41^2=4\cdot1681=6724, \] \[ 2^8\cdot3^4=256\cdot81=20736, \] \[ 2^6\cdot3^4\cdot7^2=64\cdot81\cdot49=254016. \]

Принцип: делим число последовательно на простые числа \(2,3,5,7,11,\ldots\), пока не получим \(1\). Если число является полным квадратом, удобно сначала извлечь корень, разложить корень и затем возвести все показатели степеней в квадрат.