Реши задание на изображении

Question 1

Задача · 10 класс Задача №3750683

А

Аноним

21 октября 2026 15:44 · публичный вопрос

А

Аноним 21 октября 2026 15:44

Реши задание на изображении

Answer

На фото два блока заданий: преобразования графиков и задачи на производную. Ниже — краткие ответы, затем принципы решения.

Кратко

Графики:

\(y=(x-3)^2\) — сдвиг \(y=x^2\) вправо на 3; вершина \((3;0)\).
\(y=(x-1)^2\) — сдвиг вправо на 1; вершина \((1;0)\).
\(y=(x+2)^2\) — сдвиг влево на 2; вершина \((-2;0)\).
\(y=x^2+3\) — сдвиг \(y=x^2\) вверх на 3; вершина \((0;3)\).
\(y=x^2-4\) — сдвиг вниз на 4; вершина \((0;-4)\).
\(y=\sin\frac{x}{2}\) — растяжение \(y=\sin x\) в 2 раза вдоль оси \(Ox\), период \(4\pi\).
\(y=\sin 2x\) — сжатие \(y=\sin x\) в 2 раза вдоль оси \(Ox\), период \(\pi\).

Задачи:

\(S(4)=72\) м, \(v(4)=51\) м/с.
Если считать \(S(t)\) координатой, то путь равен \(76\) м — см. пояснение ниже.
\(v(30)=22\) м/с; \(F=144\) кН.
\(F=220\) Н.
Касательная: \(y=4x-6\).
\(y=x^3-9x\): нули \(-3;0;3\), максимум \((-\sqrt3;6\sqrt3)\), минимум \((\sqrt3;-6\sqrt3)\), точка перегиба \((0;0)\).

Как это получается

1. Преобразования графиков

Общее правило: \[ y=f(x-a)+b \] — это сдвиг графика \(y=f(x)\) на \(a\) вправо и на \(b\) вверх. Если \(a<0\), сдвиг влево; если \(b<0\), сдвиг вниз.

Поэтому:

\(y=(x-3)^2\): график \(y=x^2\) переносим на 3 вправо. Вершина была \((0;0)\), стала \((3;0)\).
\(y=(x-1)^2\): перенос на 1 вправо, вершина \((1;0)\).
\(y=(x+2)^2=(x-(-2))^2\): перенос на 2 влево, вершина \((-2;0)\).
\(y=x^2+3\): поднимаем параболу на 3 вверх, вершина \((0;3)\).
\(y=x^2-4\): опускаем на 4 вниз, вершина \((0;-4)\).

Для построения достаточно взять базовую параболу и перенести 3–5 контрольных точек. Например, для \(y=(x-3)^2\): \((3;0),(4;1),(5;4),(2;1),(1;4)\).

Для синуса: \[ y=\sin(kx) \] имеет период \(T=\frac{2\pi}{|k|}\).

\(y=\sin x\): период \(2\pi\).
\(y=\sin\frac{x}{2}\): \(k=\frac12\), поэтому график растягивается в 2 раза по \(x\), период \(4\pi\).
\(y=\sin 2x\): \(k=2\), график сжимается в 2 раза по \(x\), период \(\pi\).

2. Задача 1

\[ S(t)=t^3+3t-4 \] Скорость — производная: \[ v(t)=S'(t)=3t^2+3. \] При \(t=4\): \[ v(4)=3\cdot16+3=51\ \text{м/с}. \] Путь по школьной трактовке \(S(t)\) как уже пройденного пути: \[ S(4)=4^3+3\cdot4-4=64+12-4=72\ \text{м}. \]

Примечание. Формально \(S(0)=-4\), поэтому \(S(t)\) больше похоже на координату. Тогда путь за 4 с: \[ |S(4)-S(0)|=|72-(-4)|=76\ \text{м}. \] Скорость \(v(t)=3t^2+3>0\), значит тело не меняло направления. Если в вашем курсе \(S(t)\) обозначает путь, пишите \(72\) м.

3. Задача 2

\[ x(t)=0{,}2t^2+10t \] Скорость: \[ v(t)=x'(t)=0{,}4t+10. \] При \(t=30\): \[ v(30)=0{,}4\cdot30+10=12+10=22\ \text{м/с}. \] Ускорение: \[ a(t)=v'(t)=x''(t)=0{,}4\ \text{м/с}^2. \] Масса: \[ m=360\ \text{т}=360\,000\ \text{кг}. \] Сила тяги: \[ F=ma=360\,000\cdot0{,}4=144\,000\ \text{Н}=144\ \text{кН}. \]

4. Задача 3

\[ x(t)=2t^3-t^2,\qquad m=10\ \text{кг},\qquad t=2\ \text{с}. \] Скорость: \[ v=x'=6t^2-2t. \] Ускорение: \[ a=x''=12t-2. \] При \(t=2\): \[ a(2)=12\cdot2-2=22\ \text{м/с}^2. \] Сила: \[ F=ma=10\cdot22=220\ \text{Н}. \]

5. Задача 4

\[ f(x)=x^2-2x+3,\qquad x_0=3. \] Значение функции: \[ f(3)=3^2-2\cdot3+3=9-6+3=6. \] Производная: \[ f'(x)=2x-2,\qquad f'(3)=2\cdot3-2=4. \] Уравнение касательной: \[ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0), \] \[ y=6+4(x-3)=4x-6. \]

Проверка: при \(x=3\) получаем \(y=4\cdot3-6=6=f(3)\), угловой коэффициент \(4=f'(3)\). Всё верно.

6. Задача 5

\[ y=x^3-9x. \] Производная: \[ y'=3x^2-9=3(x^2-3). \] Критические точки: \[ x=\pm\sqrt3. \] Нули функции: \[ x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3), \] то есть \(x=-3;0;3\).

Экстремумы: \[ y(-\sqrt3)=(-\sqrt3)^3-9(-\sqrt3)=-3\sqrt3+9\sqrt3=6\sqrt3\approx10{,}4, \] \[ y(\sqrt3)=3\sqrt3-9\sqrt3=-6\sqrt3\approx-10{,}4. \] Значит, максимум в точке \((-\sqrt3;6\sqrt3)\), минимум в \((\sqrt3;-6\sqrt3)\).

Вторая производная: \[ y''=6x, \] поэтому при \(x<0\) график выпуклый вверх, при \(x>0\) — вниз, а \((0;0)\) — точка перегиба.

Для построения отметь точки \((-3;0),(0;0),(3;0)\), экстремумы и точку перегиба, затем проведи плавную кубическую кривую: она возрастает на \((-\infty;-\sqrt3)\) и \((\sqrt3;+\infty)\), убывает на \((-\sqrt3;\sqrt3)\).

Проверка идей:

скорость — производная координаты, ускорение — вторая производная;
сила находится по второму закону Ньютона \(F=ma\);
касательная строится по формуле \(y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\);
графики преобразуются сдвигами и растяжениями.

Question 2

Реши задание на изображении

Answer

На фото два блока заданий: преобразования графиков и задачи на производную. Ниже — краткие ответы, затем принципы решения. ## Кратко **Графики:** - \(y=(x-3)^2\) — сдвиг \(y=x^2\) вправо на 3; вершина \((3;0)\). - \(y=(x-1)^2\) — сдвиг вправо на 1; вершина \((1;0)\). - \(y=(x+2)^2\) — сдвиг влево на 2; вершина \((-2;0)\). - \(y=x^2+3\) — сдвиг \(y=x^2\) вверх на 3; вершина \((0;3)\). - \(y=x^2-4\) — сдвиг вниз на 4; вершина \((0;-4)\). - \(y=\sin\frac{x}{2}\) — растяжение \(y=\sin x\) в 2 раза вдоль оси \(Ox\), период \(4\pi\). - \(y=\sin 2x\) — сжатие \(y=\sin x\) в 2 раза вдоль оси \(Ox\), период \(\pi\). **Задачи:** 1. \(S(4)=72\) м, \(v(4)=51\) м/с. *Если считать \(S(t)\) координатой, то путь равен \(76\) м — см. пояснение ниже.* 2. \(v(30)=22\) м/с; \(F=144\) кН. 3. \(F=220\) Н. 4. Касательная: \(y=4x-6\). 5. \(y=x^3-9x\): нули \(-3;0;3\), максимум \((-\sqrt3;6\sqrt3)\), минимум \((\sqrt3;-6\sqrt3)\), точка перегиба \((0;0)\). --- ## Как это получается ### 1. Преобразования графиков Общее правило: \[ y=f(x-a)+b \] — это сдвиг графика \(y=f(x)\) на \(a\) вправо и на \(b\) вверх. Если \(a<0\), сдвиг влево; если \(b<0\), сдвиг вниз. Поэтому: - \(y=(x-3)^2\): график \(y=x^2\) переносим на 3 вправо. Вершина была \((0;0)\), стала \((3;0)\). - \(y=(x-1)^2\): перенос на 1 вправо, вершина \((1;0)\). - \(y=(x+2)^2=(x-(-2))^2\): перенос на 2 влево, вершина \((-2;0)\). - \(y=x^2+3\): поднимаем параболу на 3 вверх, вершина \((0;3)\). - \(y=x^2-4\): опускаем на 4 вниз, вершина \((0;-4)\). Для построения достаточно взять базовую параболу и перенести 3–5 контрольных точек. Например, для \(y=(x-3)^2\): \((3;0),(4;1),(5;4),(2;1),(1;4)\). Для синуса: \[ y=\sin(kx) \] имеет период \(T=\frac{2\pi}{|k|}\). - \(y=\sin x\): период \(2\pi\). - \(y=\sin\frac{x}{2}\): \(k=\frac12\), поэтому график растягивается в 2 раза по \(x\), период \(4\pi\). - \(y=\sin 2x\): \(k=2\), график сжимается в 2 раза по \(x\), период \(\pi\). --- ### 2. Задача 1 \[ S(t)=t^3+3t-4 \] Скорость — производная: \[ v(t)=S'(t)=3t^2+3. \] При \(t=4\): \[ v(4)=3\cdot16+3=51\ \text{м/с}. \] Путь по школьной трактовке \(S(t)\) как уже пройденного пути: \[ S(4)=4^3+3\cdot4-4=64+12-4=72\ \text{м}. \] **Примечание.** Формально \(S(0)=-4\), поэтому \(S(t)\) больше похоже на координату. Тогда путь за 4 с: \[ |S(4)-S(0)|=|72-(-4)|=76\ \text{м}. \] Скорость \(v(t)=3t^2+3>0\), значит тело не меняло направления. Если в вашем курсе \(S(t)\) обозначает путь, пишите \(72\) м. --- ### 3. Задача 2 \[ x(t)=0{,}2t^2+10t \] Скорость: \[ v(t)=x'(t)=0{,}4t+10. \] При \(t=30\): \[ v(30)=0{,}4\cdot30+10=12+10=22\ \text{м/с}. \] Ускорение: \[ a(t)=v'(t)=x''(t)=0{,}4\ \text{м/с}^2. \] Масса: \[ m=360\ \text{т}=360\,000\ \text{кг}. \] Сила тяги: \[ F=ma=360\,000\cdot0{,}4=144\,000\ \text{Н}=144\ \text{кН}. \] --- ### 4. Задача 3 \[ x(t)=2t^3-t^2,\qquad m=10\ \text{кг},\qquad t=2\ \text{с}. \] Скорость: \[ v=x'=6t^2-2t. \] Ускорение: \[ a=x''=12t-2. \] При \(t=2\): \[ a(2)=12\cdot2-2=22\ \text{м/с}^2. \] Сила: \[ F=ma=10\cdot22=220\ \text{Н}. \] --- ### 5. Задача 4 \[ f(x)=x^2-2x+3,\qquad x_0=3. \] Значение функции: \[ f(3)=3^2-2\cdot3+3=9-6+3=6. \] Производная: \[ f'(x)=2x-2,\qquad f'(3)=2\cdot3-2=4. \] Уравнение касательной: \[ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0), \] \[ y=6+4(x-3)=4x-6. \] **Проверка:** при \(x=3\) получаем \(y=4\cdot3-6=6=f(3)\), угловой коэффициент \(4=f'(3)\). Всё верно. --- ### 6. Задача 5 \[ y=x^3-9x. \] Производная: \[ y'=3x^2-9=3(x^2-3). \] Критические точки: \[ x=\pm\sqrt3. \] Нули функции: \[ x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3), \] то есть \(x=-3;0;3\). Экстремумы: \[ y(-\sqrt3)=(-\sqrt3)^3-9(-\sqrt3)=-3\sqrt3+9\sqrt3=6\sqrt3\approx10{,}4, \] \[ y(\sqrt3)=3\sqrt3-9\sqrt3=-6\sqrt3\approx-10{,}4. \] Значит, максимум в точке \((-\sqrt3;6\sqrt3)\), минимум в \((\sqrt3;-6\sqrt3)\). Вторая производная: \[ y''=6x, \] поэтому при \(x<0\) график выпуклый вверх, при \(x>0\) — вниз, а \((0;0)\) — точка перегиба. Для построения отметь точки \((-3;0),(0;0),(3;0)\), экстремумы и точку перегиба, затем проведи плавную кубическую кривую: она возрастает на \((-\infty;-\sqrt3)\) и \((\sqrt3;+\infty)\), убывает на \((-\sqrt3;\sqrt3)\). **Проверка идей:** - скорость — производная координаты, ускорение — вторая производная; - сила находится по второму закону Ньютона \(F=ma\); - касательная строится по формуле \(y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\); - графики преобразуются сдвигами и растяжениями.