Реши задание на изображении

Краткие ответы:

1. 49
2. 5
3. 1
4. 4

1. \(\dfrac{(\sqrt[3]{7a^2})^6}{a^4}\)

Корень \(n\)-й степени — это степень \(\frac1n\):

\[ (\sqrt[3]{7a^2})^6=(7a^2)^{6/3}=(7a^2)^2=49a^4 \]

При \(a\ne0\):

\[ \frac{49a^4}{a^4}=49 \]

Ответ: 49.

2. \(\dfrac{\sqrt[10]{5}\cdot 5\cdot\sqrt[10]{5}}{\sqrt[5]{5}}\)

Переведём корни в степени:

\[ \sqrt[10]{5}=5^{1/10},\qquad 5=5^1,\qquad \sqrt[5]{5}=5^{1/5} \]

При умножении показатели складываются:

\[ 5^{1/10}\cdot 5^1\cdot 5^{1/10}=5^{1/10+1+1/10}=5^{6/5} \]

При делении показатели вычитаются:

\[ \frac{5^{6/5}}{5^{1/5}}=5^{6/5-1/5}=5^1=5 \]

Ответ: 5.

3. \(\dfrac{g(2-x)}{g(2+x)}\), если \(g(x)=\sqrt{x(4-x)}\)

Подставляем:

\[ g(2-x)=\sqrt{(2-x)(4-(2-x))} =\sqrt{(2-x)(2+x)} =\sqrt{4-x^2} \]

\[ g(2+x)=\sqrt{(2+x)(4-(2+x))} =\sqrt{(2+x)(2-x)} =\sqrt{4-x^2} \]

Значения равны, поэтому:

\[ \frac{g(2-x)}{g(2+x)}=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\sqrt{4-x^2}}=1 \]

Ответ: 1.

4. \(\sqrt{10}\cdot\sqrt{1{,}6}\)

Используем \(\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}\):

\[ \sqrt{10}\cdot\sqrt{1{,}6}=\sqrt{10\cdot1{,}6}=\sqrt{16}=4 \]

Ответ: 4.

Общий принцип: корень можно записывать как степень; при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются.