Реши задание на изображении
Считаем контур идеальным: сопротивлением катушки и проводов пренебрегаем. В таком контуре энергия периодически переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки.
Краткие ответы
- \(I_{\max}=2{,}25\) А.
- \(T\approx1{,}18\cdot10^{-6}\) с \(\approx1{,}2\) мкс.
- \(\nu(C_1)\approx796\) кГц, \(\nu(C_2)\approx531\) кГц; диапазон частот \(531\text{–}796\) кГц.
Решение по шагам
1. Максимальный ток в контуре
В начальный момент вся энергия запасена в конденсаторе:
\[ W_C=\frac{CU^2}{2}. \]
При максимальном токе напряжение на конденсаторе равно нулю, а вся энергия перешла в магнитное поле катушки:
\[ W_L=\frac{LI_{\max}^2}{2}. \]
Приравниваем:
\[ \frac{CU^2}{2}=\frac{LI_{\max}^2}{2}. \]
Отсюда
\[ I_{\max}=U\sqrt{\frac{C}{L}}. \]
Переводим в СИ:
\[ C=1\text{ мкФ}=10^{-6}\text{ Ф},\qquad L=10\text{ мГн}=10^{-2}\text{ Гн}. \]
Тогда
\[ I_{\max}=225\sqrt{\frac{10^{-6}}{10^{-2}}} =225\sqrt{10^{-4}} =225\cdot10^{-2}=2{,}25\text{ А}. \]
Ответ: \(2{,}25\) А.
2. Период собственных колебаний
Сначала найдём ёмкость плоского воздушного конденсатора:
\[ C=\frac{\varepsilon_0 S}{d}. \]
Дано:
\[ S=10\text{ см}^2=10\cdot10^{-4}=10^{-3}\text{ м}^2, \]
\[ d=1\text{ мм}=10^{-3}\text{ м}. \]
\[ C\approx 8{,}85\cdot10^{-12}\cdot\frac{10^{-3}}{10^{-3}} =8{,}85\cdot10^{-12}\text{ Ф}. \]
То есть \(C\approx8{,}85\) пФ.
Период колебаний:
\[ T=2\pi\sqrt{LC}. \]
Подставляем \(L=4\text{ мГн}=4\cdot10^{-3}\) Гн:
\[ T=2\pi\sqrt{4\cdot10^{-3}\cdot8{,}85\cdot10^{-12}} \approx2\pi\sqrt{3{,}54\cdot10^{-14}} \]
\[ T\approx2\pi\cdot1{,}88\cdot10^{-7} \approx1{,}18\cdot10^{-6}\text{ с}. \]
Ответ: \(T\approx1{,}2\) мкс.
3. Диапазон частот
Частота колебаний в контуре:
\[ \nu=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}. \]
Здесь
\[ L=1\text{ мГн}=10^{-3}\text{ Гн}. \]
Для \(C_1=40\) пФ:
\[ C_1=40\cdot10^{-12}\text{ Ф}, \]
\[ \nu_1=\frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-3}\cdot40\cdot10^{-12}}} \approx7{,}96\cdot10^5\text{ Гц} \approx796\text{ кГц}. \]
Для \(C_2=90\) пФ:
\[ C_2=90\cdot10^{-12}\text{ Ф}, \]
\[ \nu_2=\frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-3}\cdot90\cdot10^{-12}}} \approx5{,}31\cdot10^5\text{ Гц} \approx531\text{ кГц}. \]
Чем больше ёмкость, тем меньше частота. Поэтому диапазон:
\[ \boxed{531\text{ кГц}<\nu<796\text{ кГц}} \]
или примерно
\[ \boxed{0{,}53\text{–}0{,}80\text{ МГц}}. \]
Проверка: в задаче 3 при увеличении ёмкости с \(40\) до \(90\) пФ частота действительно уменьшается с \(796\) до \(531\) кГц — это согласуется с формулой \(\nu\sim1/\sqrt{C}\).
