Ответ

Краткий ответ: \(\angle EOF = 72^\circ\).

Почему так:

1. Вписанный угол \(\angle DEF\) и центральный угол \(\angle EOF\) опираются на одну и ту же дугу \(DF\).
2. Центральный угол равен дуге, а вписанный — её половине, значит центральный вдвое больше вписанного: \[ \angle EOF = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ. \]

Проверка: если \(\angle EOF = 72^\circ\), то вписанный угол должен быть \(72^\circ : 2 = 36^\circ\) — сходится с условием.

В поле ответа: 72.

Обрати внимание: это та же формула, что в прошлой задаче, только ход в обратную сторону — раньше мы делили на 2, теперь умножаем.

Краткий ответ: дуга \(CnB = 40^\circ\).

Почему так:

1. Угол \(CAB\) — вписанный: его вершина \(A\) лежит на окружности, а стороны \(AC\) и \(AB\) пересекают её в точках \(C\) и \(B\).
2. Вписанный угол опирается на дугу \(CB\), которая на рисунке идёт через точку \(n\), то есть это дуга \(CnB\).
3. Вписанный угол в 2 раза меньше дуги, на которую опирается: \[ \text{дуга } CnB = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ. \]

Проверка: если дуга \(40^\circ\), то вписанный угол \(40^\circ : 2 = 20^\circ\) — сходится с условием.

В поле ответа: 40

Краткий ответ: \(\angle ASB = 65^\circ\).

Почему так:

1. Угол \(ASB\) — вписанный, он опирается на дугу \(AB\), не содержащую точку \(S\).
2. В условии дана дуга \(ASB = 230^\circ\) — это дуга, которая как раз проходит через \(S\). Значит, вторая дуга \(AB\): \[ 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ. \]
3. Вписанный угол вдвое меньше дуги, на которую опирается: \[ \angle ASB = 130^\circ : 2 = 65^\circ. \]

Проверка: дуга \(AB = 130^\circ\), дуга \(ASB = 230^\circ\), вместе \(360^\circ\) — вся окружность. Угол \(65^\circ\) — половина дуги \(130^\circ\). Всё сходится.

В поле ответа: 65

Главное отличие от предыдущих задач: там дуга была дана «нужная», а здесь сначала надо найти оставшуюся часть окружности.

Ответ:
\(\angle BOC = 74^\circ\), \(\angle BAC = 37^\circ\).

Решение:

1. Вся окружность — \(360^\circ\). Дуги \(AB\), \(BC\) и \(CA\) вместе составляют полную окружность. Поэтому дуга \(BC\), не содержащая точку \(A\): \[ \cup BC = 360^\circ - 134^\circ - 152^\circ = 74^\circ. \]

2. Угол \(BOC\) — центральный, он опирается на дугу \(BC\), значит равен ей: \[ \angle BOC = 74^\circ. \]

3. Угол \(BAC\) — вписанный, он опирается на ту же дугу \(BC\), поэтому вдвое меньше её: \[ \angle BAC = 74^\circ : 2 = 37^\circ. \]

Проверка: \(134^\circ + 152^\circ + 74^\circ = 360^\circ\) — вся окружность; вписанный угол \(37^\circ\) — половина дуги \(74^\circ\). Всё сходится.

В поля ответа:
\(\angle BOC =\) 74
\(\angle BAC =\) 37