Номер 92
Краткий ответ:
- \(-1\)
- \(2\)
- \(-\frac12\)
- \(-\frac13\)
Как решать. Если \(a>0\), \(a\ne1\), то из \(a^u=a^v\) следует \(u=v\). Поэтому обе части уравнения нужно привести к одной степени одного и того же основания.
\[ 5^x=\frac15=5^{-1}\quad\Rightarrow\quad x=-1. \]
\[ 7^x=49=7^2\quad\Rightarrow\quad x=2. \]
\[ \left(\frac13\right)^x=\sqrt3. \] Так как \(\frac13=3^{-1}\), а \(\sqrt3=3^{1/2}\), получаем: \[ 3^{-x}=3^{1/2}\quad\Rightarrow\quad -x=\frac12\quad\Rightarrow\quad x=-\frac12. \]
\[ \left(\frac17\right)^x=\sqrt[3]{7}. \] Так как \(\left(\frac17\right)^x=7^{-x}\), а \(\sqrt[3]{7}=7^{1/3}\), то: \[ 7^{-x}=7^{1/3}\quad\Rightarrow\quad -x=\frac13\quad\Rightarrow\quad x=-\frac13. \]
Проверка:
\[
5^{-1}=\frac15,\quad 7^2=49,\quad \left(\frac13\right)^{-1/2}=\sqrt3,\quad \left(\frac17\right)^{-1/3}=\sqrt[3]{7}.
\]
Всё сходится.
Обсуждение
4 сообщенияРеши все уровнения в номере 92
По тем уравнениям № 92, которые уже есть в чате, вот полное решение всех четырёх:
1)
\[
5^x=\frac15
\]
Так как \(\frac15=5^{-1}\), то:
\[
5^x=5^{-1}\quad\Rightarrow\quad x=-1.
\]
2)
\[
7^x=49
\]
Так как \(49=7^2\), то:
\[
7^x=7^2\quad\Rightarrow\quad x=2.
\]
3)
\[
\left(\frac13\right)^x=\sqrt3
\]
Перепишем:
\[
3^{-x}=3^{1/2}
\]
Значит:
\[
-x=\frac12\quad\Rightarrow\quad x=-\frac12.
\]
4)
\[
\left(\frac17\right)^x=\sqrt[3]{7}
\]
Перепишем:
\[
7^{-x}=7^{1/3}
\]
Значит:
\[
-x=\frac13\quad\Rightarrow\quad x=-\frac13.
\]
Ответ:
\[
1)\ -1;\quad 2)\ 2;\quad 3)\ -\frac12;\quad 4)\ -\frac13.
\]
Если в № 92 есть ещё пункты, которых не было в сообщении, пришли фото номера — решу все.
Слелай номер 92 так как на этой доске
Оформляю все пункты № 92 в том же стиле, как на доске:
1) \[ 5^x=\frac15 \] \[ 5^x=5^{-1} \] \[ x=-1 \]
2) \[ 7^x=49 \] \[ 7^x=7^2 \] \[ x=2 \]
3) \[ \left(\frac13\right)^x=\sqrt3 \] \[ \left(\frac13\right)^x=\left(\frac13\right)^{-\frac12} \] \[ x=-\frac12 \]
4) \[ \left(\frac17\right)^x=\sqrt[3]{7} \] \[ \left(\frac17\right)^x=\left(\frac17\right)^{-\frac13} \] \[ x=-\frac13 \]
Ответ: \[ -1;\quad 2;\quad -\frac12;\quad -\frac13. \]
