Объясни в каждом. как писать правильно? и переводы, если нет вспомогательных слов. и почему именно так если нет слов по вспомогательных

Кратко, что вписать в задание 3:

1. to get on
2. to help
3. doing
4. helping
5. playing
6. do
7. borrow
8. asking
9. having
10. do — но допустимо и to do

Теперь по каждому пункту.

1. I usually manage to get on well with everyone at home.
   После manage нужен инфинитив с to: manage to do something.
   Перевод: «Обычно мне удаётся хорошо ладить со всеми дома».

2. I often offer to help with the housework.
   После offer — to + глагол: offer to help.
   «Я часто предлагаю помочь с работой по дому».

3. I don’t deny doing something wrong if I did it.
   После deny — форма -ing: deny doing something. Не «deny to do».
   «Я не отрицаю, что сделал что-то не так, если действительно это сделал».

4. I don’t mind helping with the cooking.
   После mind — -ing: don’t mind helping.
   «Я не против помочь с готовкой».

5. I avoid playing my music really loudly.
   После avoid — -ing: avoid playing.
   «Я стараюсь не включать свою музыку очень громко».

6. When my parents make me do something, I don’t complain.
   Конструкция make + человек + глагол без to: make me do.
   «Когда родители заставляют меня что-то делать, я не жалуюсь».

7. I let other members of my family borrow my things.
   Конструкция let + человек + глагол без to: let them borrow.
   «Я разрешаю другим членам семьи брать мои вещи».

8. I don’t take other family members’ things without asking.
   После предлога without — -ing: without asking.
   «Я не беру вещи других членов семьи, не спросив».

9. After having a bath, I always clean it.
   После предлога after — -ing: after having a bath.
   «После ванны я всегда её мою».

10. When I promise to help a family member do something, I always keep my word.
    Конструкция help + человек + (to) do something: можно help somebody do или help somebody to do. В школьном ключе обычно пишут do.
    «Когда я обещаю помочь члену семьи что-то сделать, я всегда держу слово».

Почему нет вспомогательных do/does/did/am/is/are

Потому что в пропуске стоит не отдельное сказуемое, а инфинитив или герундий после другого слова. Время и лицо уже показывает главный глагол: manage, offer, don’t deny, make, let и т. д.

• doing, helping, playing, asking, having — это герундий, то есть «делание», а не Present Continuous. Поэтому не нужно am/is/are.
• В пунктах 6 и 10 do — это смысловой глагол «делать», а не вспомогательный. После make и let он стоит без to.
• В отрицаниях 3–5 и 8 уже есть don’t; второй глагол отдельного вспомогательного не получает.

Видимый пункт 4.1a: Did you remember to switch the coffee maker off before leaving for work this morning?
Здесь to switch: remember to do = «не забыть сделать».
«Ты не забыл выключить кофеварку перед уходом на работу сегодня утром?»