Реши задание на изображении
Краткий ответ
Размеры: \(A\ 3\times3\), \(B\ 3\times3\), \(C\ 2\times2\), \(D\ 1\times3\), \(E\ 3\times1\), \(F\ 2\times3\).
Главные диагонали: у \(A\) — \((1,4,-1)\); у \(B\) — \((2,-3,5)\); у \(C\) — \((1,1)\).
Виды: \(A\) — квадратная (верхнетреугольная); \(B\) — диагональная; \(C\) — единичная; \(D\) — матрица-строка; \(E\) — матрица-столбец; \(F\) — нулевая.\[ A^T=\begin{pmatrix}1&2\\-1&0\\3&4\end{pmatrix},\quad B^T=\begin{pmatrix}0&4\\2&1\\-1&5\end{pmatrix}; \] обе имеют размер \(3\times2\). \[ 2A-3B=\begin{pmatrix}2&-8&9\\-8&-3&-7\end{pmatrix}; \] \[ X=\begin{pmatrix}-\frac13&2\\[1mm]\frac53&\frac23\\[1mm]-\frac53&2\end{pmatrix}, \quad \text{размер }3\times2. \]
\[ AB=\begin{pmatrix}2&0\\-1&14\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}4&-5\\-4&12\end{pmatrix}. \] \(AB\ne BA\), поэтому равенство \(AB=BA\) неверно.
\[ CD=\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}. \] Произведение \(DC\) не существует: \(D\) имеет размер \(3\times1\), \(C\) — \(2\times3\), а \(1\ne2\).\[ A^2=\begin{pmatrix}3&-5\\5&8\end{pmatrix},\qquad A^3=\begin{pmatrix}1&-18\\18&19\end{pmatrix}. \] \[ f(A)=A^2-5A+7E_2= \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}. \]
Ключевые шаги
Раздел 1. Размер матрицы — это «число строк \(\times\) число столбцов». Элементы главной диагонали стоят на местах \((1,1),(2,2),(3,3)\) и т.д.
Матрица \(A\) квадратная \(3\times3\), ниже её главной диагонали стоят нули, значит она ещё и верхнетреугольная. \(B\) имеет ненулевые элементы только на главной диагонали, поэтому она диагональная. \(C\) — единичная матрица второго порядка.
Раздел 2. При транспонировании строки становятся столбцами, поэтому размеры \(2\times3\) меняются на \(3\times2\).
Линейная комбинация \(2A-3B\) вычисляется поэлементно. Для \(X\):
\[
3X+A^T=2B^T \Rightarrow X=\frac{1}{3}\left(2B^T-A^T\right).
\]
То есть все элементы матрицы \(2B^T-A^T\) делятся на \(3\).
Проверка подстановкой даёт \(3X+A^T=2B^T\), значит \(X\) найдена верно.
Раздел 3. При умножении матриц элемент \(ij\) равен сумме произведений \(i\)-й строки первой матрицы на \(j\)-й столбец второй. Произведение существует, только если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
У \(AB\) и \(BA\) размеры одинаковые — \(2\times2\), но элементы разные, поэтому матрицы не перестановочны.
Для \(C\cdot D\): \((2\times3)\cdot(3\times1)\) — внутренние числа \(3\) и \(3\) совпадают, результат \(2\times1\).
Для \(D\cdot C\): \((3\times1)\cdot(2\times3)\) — внутренние числа \(1\) и \(2\) не совпадают, поэтому произведение не определено.
Раздел 4.
\[
A^3=A^2\cdot A.
\]
При вычислении \(f(A)\) вместо \(x^2\) берём \(A^2\), вместо \(x\) — \(A\), а свободный член \(7\) записываем как \(7E_2\):
\[
f(A)=
\begin{pmatrix}3&-5\\5&8\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}-10&5\\-5&-15\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}7&0\\0&7\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.
\]
Кстати, \(x^2-5x+7\) — характеристический многочлен матрицы \(A\), поэтому нулевой результат здесь закономерен.
