реши 66 номер, если на рисунке 41 вертикальные углы
Кратко:
а) \(\angle1=\angle3=70^\circ,\ \angle2=\angle4=110^\circ\);
б) \(\angle1=\angle3=45^\circ,\ \angle2=\angle4=135^\circ\);
в) \(\angle1=\angle3=75^\circ,\ \angle2=\angle4=105^\circ\).
Используем два свойства:
- вертикальные углы равны: \(\angle1=\angle3\), \(\angle2=\angle4\);
- смежные углы в сумме дают \(180^\circ\): \(\angle1+\angle2=180^\circ\).
а) \(\angle2+\angle4=220^\circ\)
Так как \(\angle2=\angle4\): \[ 2\angle2=220^\circ \Rightarrow \angle2=110^\circ. \] Значит, \(\angle4=110^\circ\). Тогда \[ \angle1=180^\circ-110^\circ=70^\circ, \] и \(\angle3=70^\circ\).
б) \(3(\angle1+\angle3)=\angle2+\angle4\)
Пусть \(\angle1=\angle3=x\), \(\angle2=\angle4=y\). Тогда
\[
3(x+x)=y+y \Rightarrow 6x=2y \Rightarrow y=3x.
\]
Но \(x+y=180^\circ\), значит:
\[
x+3x=180^\circ \Rightarrow 4x=180^\circ \Rightarrow x=45^\circ.
\]
Тогда \(y=135^\circ\).
Ответ: \(\angle1=\angle3=45^\circ,\ \angle2=\angle4=135^\circ\).
в) \(\angle2-\angle1=30^\circ\)
Пусть \(\angle1=x,\ \angle2=y\). Тогда: \[ y-x=30^\circ,\qquad x+y=180^\circ. \] Сложим уравнения: \[ 2y=210^\circ \Rightarrow y=105^\circ. \] Значит, \[ x=180^\circ-105^\circ=75^\circ. \] Ответ: \(\angle1=\angle3=75^\circ,\ \angle2=\angle4=105^\circ\).
Проверка: в каждом пункте вертикальные углы равны, а сумма соседних равна \(180^\circ\).
