Реши задание на изображении

На фото задачи 564–567. Кратко:

• 564: \(10\) см
• 565: \(5\) см
• 566: \(42\) см
• 567: середины сторон четырёхугольника образуют параллелограмм

Решения

564.
Треугольник, вершины которого — середины сторон данного треугольника, называется срединным. Его стороны — средние линии исходного треугольника, поэтому каждая равна половине соответствующей стороны.

Значит, стороны срединного треугольника: \[ \frac82=4,\qquad \frac52=2{,}5,\qquad \frac72=3{,}5\text{ см}. \] Его периметр: \[ P=4+2{,}5+3{,}5=10\text{ см}. \]

565.
Диагонали прямоугольника пересекаются в его центре. Расстояние от центра прямоугольника до прямой, содержащей бо́льшую сторону, равно половине меньшей стороны.

Пусть меньшая сторона равна \(b\). Тогда \[ \frac b2=2{,}5, \] откуда \[ b=5\text{ см}. \]

566.
Точки \(P\) и \(Q\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\), значит \(PQ\) — средняя линия треугольника \(ABC\). Поэтому \[ AP=\frac{AB}{2},\qquad AQ=\frac{AC}{2},\qquad PQ=\frac{BC}{2}. \] Складываем: \[ P_{APQ}=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{P_{ABC}}2. \] По условию \(P_{APQ}=21\) см, значит \[ P_{ABC}=2\cdot 21=42\text{ см}. \]

567. Доказательство.
Пусть \(ABCD\) — произвольный четырёхугольник, а \(M,N,P,Q\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DA\) соответственно.

1. В треугольнике \(ABC\) отрезок \(MN\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(BC\), значит это средняя линия: \[ MN\parallel AC. \]

2. В треугольнике \(ADC\) отрезок \(PQ\) соединяет середины сторон \(AD\) и \(CD\), значит \[ PQ\parallel AC. \]

Следовательно, \[ MN\parallel PQ. \]

3. Аналогично в треугольниках \(ABD\) и \(BCD\): \[ MQ\parallel BD,\qquad NP\parallel BD, \] поэтому \[ MQ\parallel NP. \]

У четырёхугольника \(MNPQ\) обе пары противоположных сторон параллельны, значит \(MNPQ\) — параллелограмм.