Реши задание на изображении

Краткий ответ: нет, не делится на 2 — нужно выбрать вариант «нет, не делится на 2».

Ключевая идея

Сумма делится на 2 только тогда, когда она чётная. А чётность суммы определяется чётностью слагаемых:

• чётное + чётное = чётное;
• нечётное + нечётное = чётное;
• чётное + нечётное = нечётное.

Шаги

1. 952 — чётное (оканчивается на 2).
2. 1235 — нечётное (оканчивается на 5).
3. Чётное + нечётное даёт нечётное число, значит, сумма на 2 не делится.

Проверка

\[ 952 + 1235 = 2187 \]

2187 оканчивается на 7 — число нечётное, поэтому на 2 не делится. Ответ подтверждён.

Для похожих заданий достаточно посмотреть на последние цифры слагаемых, а полностью складывать не обязательно.

Краткий ответ: да, делится на 5 — выбирай вариант «да, делится на 5».

Почему

Число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5.

\[ 525 \cdot 9821 \]

Множитель 525 оканчивается на 5, значит, он делится на 5. Если хотя бы один множитель делится на 5, то и всё произведение делится на 5.

Проверка:

\[ 525 \cdot 9821 = 5\,156\,025 \]

Число оканчивается на 5, поэтому действительно делится на 5.

Краткий ответ

Смотреть надо только на последнюю цифру числа:

Почему это работает

На 2. Число можно разбить на десятки и последнюю цифру: \(952 = 95 \cdot 10 + 2\). Десятки всегда делятся на 2 (ведь \(10 = 2 \cdot 5\)), значит, всё решает последняя цифра. Если она чётная — число чётное.

На 5. Так же: \(525 = 52 \cdot 10 + 5\). Десятки делятся на 5, поэтому смотрим на последнюю цифру: 0 или 5 — делится.

Разбор наших примеров

• 525 — оканчивается на 5 → делится на 5, но не на 2. ✅
• 952 — оканчивается на 2 → делится на 2, но не на 5.
• 1235 — оканчивается на 5 → делится на 5, но не на 2 (поэтому сумма 952 + 1235 = 2187 нечётная).
• 9821 — оканчивается на 1 → не делится ни на 2, ни на 5.

Важное различие: произведение и сумма

Произведение — проверять легко:

• делится на 2, если хотя бы один множитель чётный;
• делится на 5, если хотя бы один множитель оканчивается на 0 или 5.
• Пример: \(525 \cdot 9821\) делится на 5 (из-за 525), хотя второй множитель «неудобный».

Сумма — так нельзя, нужно смотреть на оба слагаемых:

• чётное + чётное = чётное (делится на 2);
• нечётное + нечётное = чётное (делится на 2);
• чётное + нечётное = нечётное (не делится на 2).

Проверь себя

1. Делится ли \(740\) на 2? на 5? на 10?
2. Делится ли \(333 \cdot 28\) на 2?
3. Чётная или нечётная сумма \(47 + 85\)?

Ответы: 1) да, да, да (оканчивается на 0); 2) да, потому что 28 чётное; 3) нечётная + нечётная = чётная, то есть делится на 2 (\(47 + 85 = 132\)).

Краткий ответ

На 10 делятся числа, которые оканчиваются на 0.

Примеры: \(740,\ 40,\ 100,\ 980,\ 5\,156\,020\).

Не делятся на 10: \(525,\ 952,\ 1235,\ 9821\) — у них последняя цифра не 0.

Почему

\[ 10 = 2 \cdot 5 \]

Значит, число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 5 одновременно.

• на 2 число делится, если оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8;
• на 5 — если оканчивается на 0 или 5.

Общая цифра только одна — 0. Поэтому:

В наших примерах

• 740 — оканчивается на 0 → делится на 10. ✅
• 952 — оканчивается на 2 → на 10 не делится.
• 525 — оканчивается на 5 → на 10 не делится.
• 9821 — оканчивается на 1 → на 10 не делится.
• \(525 \cdot 9821 = 5\,156\,025\) — оканчивается на 5, значит, на 10 не делится.

Для произведения

Произведение делится на 10, если среди множителей есть и чётное число, и число, кратное 5 (оканчивающееся на 0 или 5).

Например:

\[ 952 \cdot 525 = 499\,800 \]

Здесь 952 даёт «двойку», а 525 — «пятёрку», поэтому результат оканчивается на 0 и делится на 10.

А \(525 \cdot 9821\) не делится на 10: оба множителя нечётные, «двойки» в произведении нет.

Краткий ответ

На 3 делятся числа, у которых сумма цифр делится на 3. Последняя цифра здесь не важна — это главное отличие от признаков на 2, 5 и 10.

Почему

Число можно разложить по разрядам, например:

\[ 952 = 9\cdot100 + 5\cdot10 + 2 = (9+5+2) + \underbrace{99\cdot9 + 9\cdot5}_{\text{делится на }3} \]

Каждое «круглое» число (\(10-1=9\), \(100-1=99\), \(1000-1=999\), …) делится на 3. Поэтому остаток от деления числа на 3 такой же, как остаток от деления на 3 суммы его цифр.

Проверим наши числа

В произведениях

Если хотя бы один множитель делится на 3, то и всё произведение делится на 3:

\[ 525 \cdot 9821 = 5\,156\,025 \]

525 делится на 3, значит, и произведение делится. Проверка: \(5+1+5+6+0+2+5 = 24\), а 24 делится на 3. ✅

А вот \(952 \cdot 525 = 499\,800\): сумма цифр \(4+9+9+8+0+0=30\) — делится на 3, потому что 525 кратно 3.

Сводная таблица признаков

Проверь себя

1. Делится ли 471 на 3?
2. Делится ли 1234 на 3?
3. Делится ли \(525 \cdot 9821\) на 3?

Ответы: 1) да (\(4+7+1=12\)); 2) нет (\(1+2+3+4=10\)); 3) да, ведь 525 делится на 3.

Краткий ответ

Как проверять наши числа

Обрати внимание: 6391 = 77 · 83 — оба множителя нечётные, поэтому не делится ни на 2, ни на 10, а сумма цифр 19 не даёт делимости на 3 и 9.

Почему работают признаки на 3 и 9

Любое «круглое» число минус 1 делится и на 3, и на 9:

\[ 9,\ 99,\ 999,\ 9999,\ldots \]

Поэтому, например,

\[ 2187 = 2\cdot1000 + 1\cdot100 + 8\cdot10 + 7 = (2+1+8+7) + \underbrace{999\cdot2 + 99\cdot1 + 9\cdot8}_{\text{делится на }9} \]

Остаток от деления на 3 (и на 9) у числа такой же, как у суммы его цифр.

Для 2187: \(2+1+8+7=18\), а \(18\) делится и на 3, и на 9 → число делится на 3 и на 9. ✅

Важные связи между признаками

• 10 = 2 · 5 → делится на 10 ⟺ делится и на 2, и на 5. Поэтому только цифра 0 подходит сразу обоим.
• 9 = 3 · 3 → если делится на 9, то обязательно делится и на 3 (но не наоборот: 525 делится на 3, но не на 9).
• Если делится на 2 и на 5, то автоматически делится на 10.
• Наименьшее число, делящееся сразу на все пять (2, 3, 5, 9, 10), — это 90: оно оканчивается на 0 (→ 2, 5, 10) и сумма цифр 9 (→ 3, 9). Дальше идут 180, 270, 360, 450, …

Проверь себя

1. Делится ли 4716 на 9? на 2? на 5?
2. Делится ли 1230 на 3? на 9?
3. Делится ли 3021 на 3?

Ответы:

1. \(4+7+1+6=18\) → на 9 да; оканчивается на 6 → на 2 да; последняя цифра не 0 и не 5 → на 5 нет.
2. \(1+2+3+0=6\) → на 3 да, на 9 нет (6 не делится на 9).
3. \(3+0+2+1=6\) → на 3 да.

Краткий ответ: да, делится на 9 — выбирай первый вариант.

Почему

Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

1. Считаем сумму цифр:
   \[ 7 + 5 + 6 = 18 \]
2. 18 делится на 9, значит, и само число 756 делится на 9.

Проверка делением

\[ 756 : 9 = 84 \]

Деление получилось без остатка: \(9 \cdot 84 = 756\). Ответ подтверждён. ✅

Не путать: на 3 это число тоже делится (18 кратно 3), а вот на 5 и на 10 — нет, потому что 756 не оканчивается на 0 или 5.

Краткий ответ: да, делится на 11 — выбирай первый вариант.

Проверка делением

\[ 231 : 11 = 21 \]

Без остатка: \(11 \cdot 21 = 231\). Значит, 231 делится на 11. ✅

Признак делимости на 11

Нужно сложить цифры на нечётных местах (считая справа налево или слева направо — результат одинаков) и отдельно на чётных, затем вычесть:

• нечётные места: 2 и 1 → \(2 + 1 = 3\);
• чётное место: 3 → \(3\);
• разность: \(3 - 3 = 0\).

Ноль делится на 11, поэтому и всё число делится на 11.

Для сравнения

• 231 делится на 3 (сумма цифр \(2+3+1=6\)) и на 11, значит, делится и на 33.
• А на 2, 5, 10 — нет: последняя цифра 1.

Как запомнить: у 11 признак «последняя цифра не важна», работает чередование знаков — как у 3 и 9 важна сумма цифр, только здесь сумма со знаками «плюс-минус-плюс…».

Краткий ответ: простое число здесь только одно — 137.

Почему остальные не подходят

Проверка 137

Простое число делится только на 1 и на само себя. Достаточно проверить делители до \(\sqrt{137}\), то есть до 11 (так как \(11^2 = 121\), \(12^2 = 144 > 137\)). Проверяем простые числа 2, 3, 5, 7, 11:

• на 2 — нет, число нечётное;
• на 3 — нет: \(1+3+7=11\), а 11 на 3 не делится;
• на 5 — нет, не оканчивается на 0 или 5;
• на 7 — нет: \(7 \cdot 19 = 133\), остаток 4;
• на 11 — нет: \(11 \cdot 12 = 132\), остаток 5.

Ни один делитель не подошёл, значит, 137 — простое число. ✅

Важно: в задании написано «выберите простые числа», но правильный вариант только один — 137.

Краткий ответ: нужно выбрать только 3.

Почему

\[ 39 = 3 \cdot 13 \]

Значит, все делители 39 — это 1, 3, 13 и 39. Из них простые только 3 и 13. В списке вариантов есть 3, а 13 нет — поэтому отмечаем только 3.

Проверка остальных вариантов

Не путать с прошлым заданием: там нужно было найти простое число среди 148, 144, 123, 137, здесь — найти простые делители конкретного числа 39. Алгоритм такой:

1. Разложи число на множители: \(39 = 3 \cdot 13\).
2. Выпиши простые из них.
3. Отметь те, что есть в списке вариантов.

Ответ: 3.

Ответ: \[ 253 = 11 \cdot 23 \]

Как найти

1. 253 нечётное — на 2 не делится.
2. Сумма цифр \(2+5+3=10\), на 3 не делится.
3. На 5 не делится — не оканчивается на 0 или 5.
4. На 7: \(7 \cdot 36 = 252\), остаток 1.
5. На 11: \(11 \cdot 23 = 253\). Подходит.

Оба множителя простые: 11 и 23.

В поля впиши: 11 и 23 (порядок не важен).

Ответ: \[ 266 = 2 \cdot 7 \cdot 19 \]

В пустые поля впиши 7 и 19 (порядок не важен).

Как получилось

1. 266 делится на 2: \[ 266 : 2 = 133 \]
2. Раскладываем 133. На 3 не делится (\(1+3+3=7\)), на 5 — тоже нет. Пробуем 7: \[ 133 : 7 = 19 \]
3. 19 — простое число, дальше раскладывать нечего.

Проверка: \[ 2 \cdot 7 = 14,\qquad 14 \cdot 19 = 266 \] Всё сходится. ✅

Оба множителя 7 и 19 простые, поэтому разложение на простые множители полное.

Ответ: \[ 627 = 3 \cdot 11 \cdot 19 \]

В три поля впиши 3, 11 и 19.

Как разложить

1. 627 нечётное, на 2 не делится. Сумма цифр: \(6+2+7=15\) — делится на 3. \[ 627 : 3 = 209 \]
2. Раскладываем 209. На 3 не делится (\(2+0+9=11\)), на 5 — нет, на 7 — нет (\(7\cdot29=203\), остаток 6). Пробуем 11: \(209 : 11 = 19\).
3. 19 — простое число, дальше не раскладывается.

Проверка: \[ 3 \cdot 11 = 33,\qquad 33 \cdot 19 = 627 \] Всё сходится. ✅

Подсказка на будущее: если сумма цифр делится на 3, начинай разложение с тройки — так быстрее всего. После этого проверяй 7, 11, 13 и другие простые числа по порядку, пока не дойдёшь до \(\sqrt{}\) остатка.