Упрости выражения
Краткий ответ
\[ \begin{aligned} 1а)& \ 15x^2y, &1б)& \ 4a^6,\\ 2а)& \ 4a^3b^4, &2б)& \ -4m^{-3}=-\frac4{m^3},\\ 3а)& \ \frac14xy^7, &3б)& \ \frac32a^4b^{-12}=\frac{3a^4}{2b^{12}},\\ 4а)& \ 25n, &4б)& \ \frac{y^{21}}8. \end{aligned} \]
Как это получается
Используем свойства степеней:
\[ a^p\cdot a^q=a^{p+q},\qquad a^p:a^q=a^{p-q},\qquad (a^p)^q=a^{pq},\qquad a^{-p}=\frac1{a^p}. \]
Отдельно перемножаем или делим числовые коэффициенты, отдельно — степени с одинаковыми основаниями.
1)
а)
\[
6x^{-5}y^7\cdot 2{,}5x^7y^{-6}
=6\cdot2{,}5\cdot x^{-5+7}\cdot y^{7-6}
=15x^2y.
\]
б)
\[
0{,}8a^{-6}b^4\cdot5a^{12}b^{-4}
=0{,}8\cdot5\cdot a^{-6+12}\cdot b^{4-4}
=4a^6.
\]
2)
а)
\[
3{,}2a^6b:(0{,}8a^3b^{-3})
=\frac{3{,}2}{0{,}8}\cdot a^{6-3}\cdot b^{1-(-3)}
=4a^3b^4.
\]
б)
Сначала переведём \(3\frac12=\frac72\):
\[ \frac72m^{-8}n^{-7}:\left(-\frac78m^{-5}n^{-7}\right) = \frac{7/2}{-7/8}\cdot m^{-8-(-5)}\cdot n^{-7-(-7)}. \]
\[ \frac{7/2}{-7/8}=-4,\qquad m^{-3},\qquad n^0=1. \]
Ответ: \[ -4m^{-3}=-\frac4{m^3}. \]
3)
а)
\[
\frac{13x^{-4}}{y^{-6}}\cdot\frac{y}{52x^{-5}}
=
\frac{13}{52}\cdot x^{-4-(-5)}\cdot y^{6+1}
=
\frac14xy^7.
\]
б)
\[
\frac{21a^{-4}}{10b^6}\cdot\frac{5b^{-6}}{7a^{-8}}
=
\frac{21\cdot5}{10\cdot7}\cdot a^{-4-(-8)}\cdot b^{-6-6}.
\]
\[ \frac{21\cdot5}{10\cdot7}=\frac32,\qquad a^4,\qquad b^{-12}. \]
Ответ: \[ \frac32a^4b^{-12}=\frac{3a^4}{2b^{12}}. \]
4)
а)
Сначала упростим скобку:
\[ \frac{9m^{-3}}{5n^{-1}}=\frac95m^{-3}n. \]
Возводим в степень \(-2\):
\[ \left(\frac95m^{-3}n\right)^{-2} = \left(\frac95\right)^{-2}m^6n^{-2} = \frac{25}{81}m^6n^{-2}. \]
Умножаем:
\[ \frac{25}{81}m^6n^{-2}\cdot81m^{-6}n^3 =25n. \]
б)
\[
\left(\frac{2x^4}{y^9}\right)^{-3}
=
2^{-3}x^{-12}y^{27}
=
\frac18x^{-12}y^{27},
\]
\[ (x^{-2}y)^{-6}=x^{12}y^{-6}. \]
Перемножаем:
\[ \frac18x^{-12}y^{27}\cdot x^{12}y^{-6} = \frac18y^{21}. \]
Ответ: \[ \frac{y^{21}}8. \]
Проверка принципа: в каждом примере коэффициенты считаются отдельно, а показатели степеней с одинаковым основанием складываются при умножении и вычитаются при делении.
