Реши задание 157
Ответ: \(6\) см.
Как рассуждать
В прямоугольном треугольнике \(ABD\): \[ \angle BDA=30^\circ,\quad AD=9. \] Так как \(AD\) прилежит к углу \(30^\circ\), то \[ \tan 30^\circ=\frac{AB}{AD}, \] откуда \[ AB=9\cdot \frac1{\sqrt3}=3\sqrt3. \]
Найдём диагональ прямоугольника: \[ AC=\sqrt{AD^2+AB^2} =\sqrt{9^2+(3\sqrt3)^2} =\sqrt{81+27} =6\sqrt3. \]
В ромбе \(AMCK\) диагонали \(AC\) и \(MK\) перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть \(O\) — их точка пересечения. Тогда \[ AO=\frac{AC}{2}=3\sqrt3. \]
Угол между диагональю \(AC\) и стороной \(AD\) равен \(30^\circ\): в прямоугольнике диагонали наклонены к стороне \(AD\) одинаково, а \(\angle BDA=30^\circ\). Значит, \[ \angle OAK=30^\circ. \]
В прямоугольном треугольнике \(AOK\): \[ \cos 30^\circ=\frac{AO}{AK}, \] поэтому \[ AK=\frac{3\sqrt3}{\cos30^\circ} =\frac{3\sqrt3}{\sqrt3/2} =6. \]
Так как \(AK\) — сторона ромба \(AMCK\), сторона ромба равна \(6\) см.
Проверка: \(AK=6<9\), значит точка \(K\) действительно лежит на стороне \(AD\). Остальные стороны ромба также получаются по \(6\) см.
Обсуждение
2 сообщенияНапиши как задача: Рисунок Дано Найти Решение
Рисунок (схема, масштаб не соблюдён):
B ───── M ─────────── C
│ ╱ ╱ │
│ ╱ ╱ │
│ ╱ ╱ │
A ───── K ─────────── D
Дано:
\(ABCD\) — прямоугольник;
\(K \in AD,\ M \in BC\);
\(AMCK\) — ромб;
\(AD=9\) см;
\(\angle BDA=30^\circ\).
Найти:
сторону ромба \(AMCK\), например \(AK\).
Решение:
В прямоугольном треугольнике \(ABD\): \[ \tan\angle BDA=\frac{AB}{AD}. \] Значит, \[ AB=AD\cdot \tan30^\circ=9\cdot \frac1{\sqrt3}=3\sqrt3. \]
Найдём диагональ прямоугольника \(AC\): \[ AC=\sqrt{AD^2+AB^2} =\sqrt{9^2+(3\sqrt3)^2} =\sqrt{81+27} =6\sqrt3. \]
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей ромба \(AMCK\).
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому \[ AO=\frac{AC}{2}=3\sqrt3. \]Угол между \(AC\) и \(AD\) равен \(30^\circ\), так как \[ \tan\angle CAD=\frac{CD}{AD} =\frac{AB}{AD} =\frac{3\sqrt3}{9} =\frac{\sqrt3}{3}, \] откуда \(\angle CAD=30^\circ\).
Следовательно, \(\angle OAK=30^\circ\).В прямоугольном треугольнике \(AOK\): \[ \cos30^\circ=\frac{AO}{AK}. \] Отсюда \[ AK=\frac{AO}{\cos30^\circ} =\frac{3\sqrt3}{\sqrt3/2} =6. \]
Все стороны ромба равны, значит, сторона ромба равна \(6\) см.
Ответ: \(6\) см.
