Реши уравнение x² − 6x + 7 = 0

Краткий ответ:
\[ x_1=3-\sqrt2,\qquad x_2=3+\sqrt2. \]

Как понять ход решения

Удобно выделить полный квадрат:

\[ x^2-6x+7=0. \]

Заметим, что

\[ x^2-6x=(x-3)^2-9. \]

Тогда уравнение превращается в

\[ (x-3)^2-9+7=0, \]

\[ (x-3)^2-2=0, \]

\[ (x-3)^2=2. \]

Извлекаем квадратный корень:

\[ x-3=\pm\sqrt2. \]

Значит,

\[ x=3\pm\sqrt2. \]

То есть

\[ x_1=3-\sqrt2,\qquad x_2=3+\sqrt2. \]

Проверка

По теореме Виета для уравнения \(x^2-6x+7=0\):

\[ x_1+x_2=6,\qquad x_1x_2=7. \]

Для найденных корней:

\[ (3-\sqrt2)+(3+\sqrt2)=6, \]

\[ (3-\sqrt2)(3+\sqrt2)=9-2=7. \]

Всё сходится.

Главный принцип: если перед \(x\) стоит коэффициент \(-6\), то выражение можно свернуть в квадрат \((x-3)^2\), а дальше просто извлечь корень.