960 и 962 задачи оформи с дано и решением
Краткий ответ:
960: а) \(A\) и \(C\); б) \(B\); в) \(B\) и \(D\).
962: точки \(A\) и \(B\) лежат на окружности \(x^2+y^2=25\), поэтому отрезок \(AB\) — её хорда.
Принцип: точка \((x;y)\) лежит на окружности, если её координаты удовлетворяют уравнению окружности. Для проверки нужно подставить \(x\) и \(y\) в уравнение.
Задача 960
Дано:
точки
\[
A(3;-4),\quad B(1;0),\quad C(0;5),\quad D(0;0),\quad E(0;1);
\]
окружности:
\[
\text{а) }x^2+y^2=25;\qquad
\text{б) }(x-1)^2+(y+3)^2=9;
\]
\[
\text{в) }\left(x-\frac12\right)^2+y^2=\frac14.
\]
Найти: какие из данных точек лежат на каждой окружности.
Решение.
Подставляем координаты точек в левые части уравнений. В таблице записаны полученные значения.
\[ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Точка} & x^2+y^2 & (x-1)^2+(y+3)^2 & \left(x-\frac12\right)^2+y^2\\ \hline A(3;-4) & 25 & 5 & \frac{89}{4}\\[2pt] B(1;0) & 1 & 9 & \frac14\\[2pt] C(0;5) & 25 & 65 & \frac{101}{4}\\[2pt] D(0;0) & 0 & 10 & \frac14\\[2pt] E(0;1) & 1 & 17 & \frac54 \end{array} \]
Теперь сравниваем с правыми частями:
- а) должно получиться \(25\): подходят \(A\) и \(C\);
- б) должно получиться \(9\): подходит только \(B\);
- в) должно получиться \(\frac14\): подходят \(B\) и \(D\).
Например, для \(B\) в пункте в): \[ \left(1-\frac12\right)^2+0^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14, \] значит, \(B\) лежит на этой окружности.
Ответ:
а) \(A,C\); б) \(B\); в) \(B,D\).
Задача 962
Дано:
окружность
\[
\omega:\ x^2+y^2=25
\]
и точки
\[
A(3;4),\qquad B(4;-3).
\]
Доказать: \(AB\) — хорда окружности \(\omega\).
Доказательство.
Уравнение \(x^2+y^2=25\) задаёт окружность с центром \(O(0;0)\) и радиусом
\[ R=\sqrt{25}=5. \]Проверим точку \(A(3;4)\): \[ 3^2+4^2=9+16=25. \] Значит, \(A\) лежит на окружности.
Проверим точку \(B(4;-3)\): \[ 4^2+(-3)^2=16+9=25. \] Значит, \(B\) тоже лежит на окружности.
Точки \(A\) и \(B\) различны. Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Следовательно, отрезок \(AB\) является хордой данной окружности.
Что важно запомнить: для проверки принадлежности точки окружности достаточно подставить её координаты в уравнение; для доказательства того, что отрезок является хордой, нужно показать, что оба его конца лежат на окружности.
