Решить как в школе и оформить как в школе

Краткий ответ: \(M \approx 3{,}3\cdot10^{23}\) кг.

Оформление как в школе

Дано: \[ R=2420\ \text{км}=2{,}42\cdot10^6\ \text{м} \] \[ g=3{,}72\ \text{м/с}^2 \] \[ G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2} \] Найти: \(M\) — ?

Решение:

У поверхности планеты сила тяжести равна силе всемирного тяготения: \[ mg=G\frac{mM}{R^2} \]

Масса тела \(m\) сокращается: \[ g=G\frac{M}{R^2} \]

Отсюда масса планеты: \[ M=\frac{gR^2}{G} \]

Подставляем значения: \[ M=\frac{3{,}72\cdot(2{,}42\cdot10^6)^2}{6{,}67\cdot10^{-11}} \] \[ M\approx \frac{3{,}72\cdot5{,}8564\cdot10^{12}}{6{,}67\cdot10^{-11}} \approx 3{,}27\cdot10^{23}\ \text{кг} \]

После округления: \[ M\approx 3{,}3\cdot10^{23}\ \text{кг} \]

Ответ: масса Меркурия примерно \(3{,}3\cdot10^{23}\) кг.

Почему так: ускорение свободного падения \(g\) создаётся притяжением самой планеты. Чем больше масса планеты и меньше её радиус, тем больше \(g\). Поэтому, зная \(g\) и \(R\), можно найти \(M\). Радиус обязательно переводим в метры, иначе не сойдутся единицы.

Проверка: полученное значение близко к известной массе Меркурия — около \(3{,}3\cdot10^{23}\) кг.