Ниже подробно по каждому номеру. Сначала — правила, которые используем.

Что такое область определения \(D(y)\):
это все значения \(x\), при которых выражение \(y\) можно вычислить.

Основные ограничения:

1. Если \(y\) — многочлен, то \(x\) может быть любым: \[ D(y)=\mathbb R=(-\infty;+\infty). \]

2. Если \(x\) есть в знаменателе, то знаменатель не равен нулю: \[ \text{знаменатель}\ne 0. \]

3. Если есть корень \(\sqrt{A}\), то подкоренное выражение неотрицательно: \[ A\ge 0. \]

4. Если корень стоит в знаменателе, то подкоренное выражение строго положительно: \[ A>0, \] потому что на ноль делить нельзя.

5. Если в выражении несколько условий, надо взять их пересечение — то есть оставить только те \(x\), которые подходят одновременно.

---

Вариант 1

1. \(y=x^2-2\)

Это многочлен: \(x^2\) и вычитание числа определены при любых \(x\).

\[ D(y)=\mathbb R=(-\infty;+\infty). \]

---

2. \(y=\dfrac{-6}{x+2}\)

Здесь есть дробь, значит знаменатель не должен быть равен нулю:

\[ x+2\ne 0, \] \[ x\ne -2. \]

Числитель \(-6\) ограничений не даёт.

\[ \boxed{D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)} \]

Или короче: \[ D(y)=\mathbb R\setminus\{-2\}. \]

---

3. \(y=\sqrt{x-4}\)

Под корнем должно быть неотрицательное число:

\[ x-4\ge 0, \] \[ x\ge 4. \]

При \(x=4\) под корнем ноль, а \(\sqrt{0}=0\) — это допустимо, поэтому число \(4\) включаем.

\[ \boxed{D(y)=[4;+\infty)} \]

---

4. \(y=x^2-2x+43\)

Это многочлен, никаких дробей и корней нет.

\[ \boxed{D(y)=\mathbb R} \]

---

5. \(y=\dfrac{-6x+2}{x^2+2x}\)

Знаменатель не равен нулю:

\[ x^2+2x\ne 0. \]

Разложим на множители:

\[ x(x+2)\ne 0. \]

Значит:

\[ x\ne 0,\qquad x\ne -2. \]

То есть из всех действительных чисел исключаем \(0\) и \(-2\).

\[ \boxed{D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;0)\cup(0;+\infty)} \]

Или: \[ D(y)=\mathbb R\setminus\{-2;0\}. \]

---

6. \(y=\sqrt{x^2-4}\)

Нужно:

\[ x^2-4\ge 0. \]

Разложим:

\[ (x-2)(x+2)\ge 0. \]

Корни выражения: \(-2\) и \(2\). Парабола \(x^2-4\) ветвями вверх, поэтому она неотрицательна вне отрезка между корнями:

\[ x\le -2 \quad \text{или}\quad x\ge 2. \]

Концы включаем, потому что при \(x=-2\) и \(x=2\) под корнем получается \(0\), а это допустимо.

\[ \boxed{D(y)=(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)} \]

---

7. \(y=x^5-2x^3+43x\)

Это многочлен, значит ограничений нет.

\[ \boxed{D(y)=\mathbb R} \]

---

8. \(y=\sqrt{x^2-4}+\dfrac{x-3}{x+5}-\dfrac{5}{\sqrt{x-2}}\)

Здесь сразу несколько условий.

Условие 1: корень \(\sqrt{x^2-4}\)

\[ x^2-4\ge 0. \]

Как в номере 6:

\[ x\le -2 \quad \text{или}\quad x\ge 2. \]

Условие 2: знаменатель \(x+5\)

\[ x+5\ne 0, \] \[ x\ne -5. \]

Условие 3: корень в знаменателе \(\sqrt{x-2}\)

Он стоит в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть строго больше нуля:

\[ x-2>0, \] \[ x>2. \]

Теперь пересекаем условия:

\[ x\le -2 \ \text{или}\ x\ge 2, \] \[ x\ne -5, \] \[ x>2. \]

Условие \(x>2\) автоматически сильнее, чем \(x\ge 2\). Значит остаётся:

\[ x>2. \]

При этом \(x\ne -5\) автоматически выполнено, ведь \(x>2\).

При \(x=2\) знаменатель \(\sqrt{x-2}\) равен нулю, поэтому \(2\) не включаем.

\[ \boxed{D(y)=(2;+\infty)} \]

---

Вариант 2

1. \(y=x^2-31\)

Многочлен, ограничений нет.

\[ \boxed{D(y)=\mathbb R} \]

---

2. \(y=\dfrac{23}{3-x}\)

Знаменатель не равен нулю:

\[ 3-x\ne 0, \] \[ x\ne 3. \]

\[ \boxed{D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)} \]

Или: \[ D(y)=\mathbb R\setminus\{3\}. \]

---

3. \(y=\sqrt{2+x}\)

Подкоренное выражение неотрицательно:

\[ 2+x\ge 0, \] \[ x\ge -2. \]

При \(x=-2\) под корнем \(0\), это допустимо.

\[ \boxed{D(y)=[-2;+\infty)} \]

---

4. \(y=x^2-4x-12\)

Это многочлен, значит:

\[ \boxed{D(y)=\mathbb R} \]

---

5. \(y=\dfrac{6x+23}{x^2+3x}\)

Знаменатель не равен нулю:

\[ x^2+3x\ne 0, \] \[ x(x+3)\ne 0. \]

Значит:

\[ x\ne 0,\qquad x\ne -3. \]

\[ \boxed{D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;0)\cup(0;+\infty)} \]

Или: \[ D(y)=\mathbb R\setminus\{-3;0\}. \]

---

6. \(y=\sqrt{x^2-9}\)

Нужно:

\[ x^2-9\ge 0. \]

Разложим:

\[ (x-3)(x+3)\ge 0. \]

Корни: \(-3\) и \(3\). Выражение неотрицательно вне отрезка \([-3;3]\):

\[ x\le -3 \quad \text{или}\quad x\ge 3. \]

Концы включаем, потому что под корнем может быть ноль.

\[ \boxed{D(y)=(-\infty;-3]\cup[3;+\infty)} \]

---

7. \(y=x^4-12x^2+13x\)

Многочлен, ограничений нет.

\[ \boxed{D(y)=\mathbb R} \]

---

8. \(y=\sqrt{x^2-9}+\dfrac{x-3}{x-12}-\dfrac{5}{\sqrt{x+4}}\)

Снова несколько условий.

Условие 1: корень \(\sqrt{x^2-9}\)

\[ x^2-9\ge 0, \] \[ (x-3)(x+3)\ge 0, \] \[ x\le -3 \quad \text{или}\quad x\ge 3. \]

Условие 2: знаменатель \(x-12\)

\[ x-12\ne 0, \] \[ x\ne 12. \]

Условие 3: корень в знаменателе \(\sqrt{x+4}\)

Так как он в знаменателе:

\[ x+4>0, \] \[ x>-4. \]

Теперь пересекаем:

\[ x\le -3 \quad \text{или}\quad x\ge 3, \] \[ x>-4, \] \[ x\ne 12. \]

Рассмотрим отдельно:

• С условием \(x>-4\) и \(x\le -3\) получаем: \[ -4<x\le -3, \] то есть \((-4;-3]\).

• С условием \(x\ge 3\) получаем \(x\ge 3\), но нельзя \(x=12\), поэтому: \[ [3;12)\cup(12;+\infty). \]

Объединяем:

\[ \boxed{D(y)=(-4;-3]\cup[3;12)\cup(12;+\infty)} \]

Проверка границ:

• \(x=-4\) не подходит, потому что \(\sqrt{x+4}=0\), а он в знаменателе.
• \(x=-3\) подходит: \(\sqrt{x^2-9}=0\), это допустимо.
• \(x=3\) подходит: \(\sqrt{x^2-9}=0\), знаменатель \(x-12\ne0\).
• \(x=12\) не подходит, потому что \(x-12=0\).

---

Итоговые ответы

Вариант 1

1. \(\mathbb R\)
2. \((-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)\)
3. \([4;+\infty)\)
4. \(\mathbb R\)
5. \((-\infty;-2)\cup(-2;0)\cup(0;+\infty)\)
6. \((-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\)
7. \(\mathbb R\)
8. \((2;+\infty)\)

Вариант 2

1. \(\mathbb R\)
2. \((-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)
3. \([-2;+\infty)\)
4. \(\mathbb R\)
5. \((-\infty;-3)\cup(-3;0)\cup(0;+\infty)\)
6. \((-\infty;-3]\cup[3;+\infty)\)
7. \(\mathbb R\)
8. \((-4;-3]\cup[3;12)\cup(12;+\infty)\)