Реши задание на изображении
На фото обведены 7.23(а), 7.24(а) и 7.25 — решаю их.
Краткий ответ
7.23(а)
\[
y=\frac{1}{x^2-1}
\]
Область определения:
\[
x\ne \pm 1,\quad
D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).
\]
7.24(а)
\[
y=\frac{\sqrt{x-12}}{x^2-1}
\]
Область определения:
\[
D(y)=[12;+\infty).
\]
7.25. Если \(f(x)=-3x+2\), то:
\[ \text{а) } f(-x)=3x+2; \]
\[ \text{б) } f(x+5)=-3x-13; \]
\[ \text{в) } f(f(1))=5; \]
\[ \text{г) } f(f(x))=9x-4. \]
Как это получается
7.23(а)
Дробь существует, когда знаменатель не равен нулю:
\[ x^2-1\ne 0 \]
\[ (x-1)(x+1)\ne 0 \]
Значит:
\[ x\ne 1,\qquad x\ne -1. \]
Числитель \(1\) никаких ограничений не даёт, поэтому:
\[ D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty). \]
7.24(а)
Здесь два условия:
Под корнем должно быть неотрицательное число: \[ x-12\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge 12. \]
Знаменатель не должен быть нулём: \[ x^2-1\ne 0 \quad\Rightarrow\quad x\ne \pm 1. \]
Но при \(x\ge 12\) значения \(x=1\) и \(x=-1\) и так не встречаются. Поэтому остаётся только:
\[ x\ge 12, \]
то есть:
\[ D(y)=[12;+\infty). \]
7.25
Дана функция:
\[ f(x)=-3x+2. \]
а) Вместо \(x\) подставляем \(-x\):
\[ f(-x)=-3(-x)+2=3x+2. \]
б) Подставляем \(x+5\):
\[ f(x+5)=-3(x+5)+2=-3x-15+2=-3x-13. \]
в) Сначала находим внутреннее значение:
\[ f(1)=-3\cdot 1+2=-1. \]
Потом подставляем \(-1\) в \(f\):
\[ f(f(1))=f(-1)=-3(-1)+2=3+2=5. \]
г) Сначала подставляем \(f(x)\) внутрь функции:
\[ f(f(x))=f(-3x+2). \]
Теперь вместо \(x\) в формуле \(f(x)=-3x+2\) ставим \(-3x+2\):
\[ f(-3x+2)=-3(-3x+2)+2 \]
\[ =9x-6+2=9x-4. \]
Проверка: при \(x=1\)
\[ f(f(1))=9\cdot 1-4=5, \]
что совпадает с пунктом в.
