В ромбе MHPK с тупым углом K диагонали пересекаются в точке E. один из углов треугольника PKE равен 20°. найти углы ромба

Краткий ответ:
Углы ромба:
\[ \angle M=\angle P=40^\circ,\qquad \angle H=\angle K=140^\circ. \]

Решение по шагам

1. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом, поэтому в треугольнике \(PKE\): \[ \angle PEK=90^\circ. \] Значит, два других угла треугольника острые и в сумме дают \(90^\circ\).

2. Диагональ ромба делит его угол пополам. Поэтому: \[ \angle KPE=\frac12\angle P, \qquad \angle PKE=\frac12\angle K. \]

3. По условию угол \(K\) тупой, значит: \[ \angle K>90^\circ \quad\Rightarrow\quad \angle PKE=\frac12\angle K>45^\circ. \] Поэтому угол \(20^\circ\) не может быть углом \(PKE\). Следовательно: \[ \angle KPE=20^\circ. \]

4. Тогда весь угол \(P\) ромба: \[ \angle P=2\cdot20^\circ=40^\circ. \] Противоположный ему угол: \[ \angle M=\angle P=40^\circ. \]

5. Соседний с ним угол ромба: \[ \angle K=180^\circ-40^\circ=140^\circ. \] Противоположный угол \(H\) тоже равен: \[ \angle H=140^\circ. \]

Проверка: в треугольнике \(PKE\) углы равны \(20^\circ\), \(70^\circ\), \(90^\circ\), так как \(70^\circ=\frac{140^\circ}{2}\). Всё сходится.