Реши задание на изображении

Краткие ответы

Задание 1

1. Размеры:
   \(A\) — \(3\times3\), \(B\) — \(3\times3\), \(C\) — \(2\times2\),
   \(D\) — \(1\times3\), \(E\) — \(3\times1\), \(F\) — \(2\times3\).

2. Главная диагональ:
   \(A\): \(1,\ 4,\ -1\);
   \(B\): \(2,\ -3,\ 5\);
   \(C\): \(1,\ 1\).

3. Виды матриц:
   \(A\) — квадратная верхнетреугольная;
   \(B\) — квадратная диагональная;
   \(C\) — единичная (частный случай диагональной);
   \(D\) — матрица-строка;
   \(E\) — матрица-столбец;
   \(F\) — нулевая.

Задание 2

1. \[ A^T=\begin{pmatrix}1&2\\-1&0\\3&4\end{pmatrix},\qquad B^T=\begin{pmatrix}0&4\\2&1\\-1&-5\end{pmatrix}. \] Обе матрицы имеют размер \(3\times2\).

2. \[ C=2A-3B= \begin{pmatrix} 2&-8&9\\ -8&-3&23 \end{pmatrix}. \]

3. \[ X=\frac13\left(2B^T-A^T\right) = \begin{pmatrix} -\frac13&2\\[2pt] \frac53&\frac23\\[2pt] -\frac53&-\frac{14}{3} \end{pmatrix}. \]

Задание 3

1. \[ AB=\begin{pmatrix}2&0\\-1&14\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}4&-5\\-4&12\end{pmatrix}. \] Следовательно, \(AB\neq BA\).

2. \[ CD=\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}. \]

3. Произведение \(D\cdot C\) не существует: \(D\) имеет размер \(3\times1\), \(C\) — \(2\times3\), а внутренние размеры \(1\) и \(2\) не совпадают.

Задание 4

1. \[ A^2=\begin{pmatrix}3&-5\\5&8\end{pmatrix},\qquad A^3=\begin{pmatrix}1&-18\\18&19\end{pmatrix}. \]

2. \[ f(A)=A^2-5A+7E_2 = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}. \] То есть \(f(A)\) — нулевая матрица.

Как это получается

1. Размер, диагональ и виды матриц

Размер матрицы записывается как «число строк \(\times\) число столбцов».
Главная диагональ есть только у квадратных матриц: это элементы \(a_{11},a_{22},\ldots\) — от левого верхнего угла к правому нижнему.

• Верхнетреугольная матрица: ниже главной диагонали стоят нули.
• Диагональная: все элементы вне главной диагонали равны нулю.
• Единичная: на диагонали единицы, остальные элементы нули.
• Нулевая: все элементы равны нулю.

Поэтому \(A\) — верхнетреугольная, \(B\) — диагональная, \(C\) — единичная, \(F\) — нулевая.

2. Транспонирование и линейные операции

При транспонировании строки становятся столбцами: \[ (A^T)_{ij}=a_{ji}. \] Поэтому размер \(2\times3\) превращается в \(3\times2\).

При вычислении \(2A-3B\) каждый элемент одной матрицы умножается на соответствующее число, затем результаты вычитаются поэлементно. Это возможно только для матриц одинакового размера.

В уравнении \[ 3X+A^T=2B^T \] сначала переносим \(A^T\): \[ 3X=2B^T-A^T, \] а затем делим каждый элемент на \(3\): \[ X=\frac13(2B^T-A^T). \] Подстановка \(X\) обратно в уравнение даёт \(2B^T\).

3. Умножение матриц

Элемент произведения вычисляется по правилу «строка на столбец»: \[ (AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}. \] Умножать можно, только если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Именно поэтому:

• \(AB\) и \(BA\) оба существуют, но дают разные матрицы — умножение матриц некоммутативно;
• \(CD\) существует, так как \((2\times3)(3\times1)\), результат \(2\times1\);
• \(DC\) не существует, так как \((3\times1)(2\times3)\), а \(1\neq2\).

4. Степени и многочлены от матрицы

Степени определяются последовательным умножением: \[ A^2=A\cdot A,\qquad A^3=A^2\cdot A. \] В многочлене \[ f(x)=x^2-5x+7 \] свободный член \(7\) для матрицы заменяется на \(7E_2\), а не на обычное число: \[ f(A)=A^2-5A+7E_2. \] После подстановки: \[ \begin{pmatrix}3&-5\\5&8\end{pmatrix} -5\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix} +7\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}. \]