Найди наименьшее общее кратное чисел m и n, если m=3•3•5•7, n=2•3•3•5•5•7
Краткий ответ: \(\operatorname{НОК}(m,n)=3150\).
Как рассуждать:
Запишем числа через степени простых множителей:
\[ m=3\cdot3\cdot5\cdot7=3^2\cdot5\cdot7 \]
\[ n=2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7=2\cdot3^2\cdot5^2\cdot7 \]
Чтобы найти НОК, для каждого простого числа берём наибольшую степень, которая встречается в разложении:
- \(2\): в \(m\) нет, в \(n\) есть \(2^1\), значит берём \(2\);
- \(3\): в обоих \(3^2\), значит берём \(3^2\);
- \(5\): в \(m\) \(5^1\), в \(n\) \(5^2\), значит берём \(5^2\);
- \(7\): в обоих \(7^1\), значит берём \(7\).
Получаем:
\[ \operatorname{НОК}(m,n)=2\cdot3^2\cdot5^2\cdot7 \]
\[ =2\cdot9\cdot25\cdot7=3150 \]
Проверка:
\[
3150:m=3150:315=10
\]
\[
3150:n=3150:3150=1
\]
Оба делятся нацело, значит ответ верный.
Здесь \(n\) уже само равно \(3150\), и \(m\) делит \(n\), поэтому НОК равен большему числу — \(n\).
Обсуждение
8 сообщенийРазбери это по фото
Фото не прикрепилось — в сообщении только текст, изображения я не вижу.
Пришли фото ещё раз (или скриншот страницы с заданием) — разберу по нему. Если это тот же пример с \(m=3\cdot3\cdot5\cdot7\) и \(n=2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\), просто напиши, что фото не нужно, и я распишу решение подробнее по шагам.
Разбери эти примеры по шагово что бы я поняла
Хорошо, разберём именно этот пример — \(m=3\cdot3\cdot5\cdot7\) и \(n=2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\) — по шагам. Если на фото были ещё примеры, пришли их отдельно, разберём так же.
Шаг 1. Вспомним, что такое НОК
НОК — наименьшее число, которое делится и на \(m\), и на \(n\) без остатка.
Главное правило: НОК должен «содержать в себе» все простые множители каждого числа, причём в наибольшей степени, в какой они встречаются.
Шаг 2. Запишем числа в виде степеней
Сначала считаем, сколько раз встречается каждый множитель.
Для \(m\): \[ m=3\cdot3\cdot5\cdot7 \]
- тройка встречается 2 раза → \(3^2\)
- пятёрка — 1 раз → \(5^1\)
- семёрка — 1 раз → \(7^1\)
\[ m=3^2\cdot5^1\cdot7^1 \]
Для \(n\): \[ n=2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7 \]
- двойка — 1 раз → \(2^1\)
- тройка — 2 раза → \(3^2\)
- пятёрка — 2 раза → \(5^2\)
- семёрка — 1 раз → \(7^1\)
\[ n=2^1\cdot3^2\cdot5^2\cdot7^1 \]
Шаг 3. Составим таблицу степеней
| Простое число | В \(m\) | В \(n\) | Берём наибольшую |
|---|---|---|---|
| \(2\) | нет | \(2^1\) | \(2^1\) |
| \(3\) | \(3^2\) | \(3^2\) | \(3^2\) |
| \(5\) | \(5^1\) | \(5^2\) | \(5^2\) |
| \(7\) | \(7^1\) | \(7^1\) | \(7^1\) |
Шаг 4. Перемножим выбранные степени
\[ \operatorname{НОК}(m,n)=2^1\cdot3^2\cdot5^2\cdot7^1 \]
Считаем по частям, чтобы не запутаться: \[ 3^2=9,\qquad 5^2=25 \] \[ 2\cdot9=18 \] \[ 18\cdot25=450 \] \[ 450\cdot7=3150 \]
Ответ: \(\operatorname{НОК}(m,n)=3150\).
Шаг 5. Проверка
Делим НОК на каждое число:
\[ 3150:315=10 \quad \text{— делится нацело} \] \[ 3150:3150=1 \quad \text{— делится нацело} \]
Значит, \(3150\) подходит. И оно наименьшее, потому что меньше \(n\) взять нельзя: любое общее кратное обязано делиться на \(n\), а самое маленькое такое число — само \(n\).
Короткий «шпаргалочный» алгоритм
- Разложи оба числа на простые множители.
- Запиши их степенями.
- Для каждого простого числа возьми максимальную степень из двух чисел.
- Перемножь — это НОК.
- Проверь делением: НОК делится и на \(m\), и на \(n\).
💡 Полезная хитрость для этого примера: посчитай сами числа — \(m=315\), \(n=3150\). Видно, что \(3150\) делится на \(315\) (\(3150:315=10\)). Если одно число делится на другое, то НОК равно большему из них. Здесь это сразу даёт ответ \(3150\) без таблицы.
Сократи дробь десять пятнадцатых, двенадцать восемнадцатых и двадцать четыре сорок восьмых
Сократим каждую дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.
1) \(\dfrac{10}{15}\)
\[ \dfrac{10}{15}=\dfrac{10:5}{15:5}=\dfrac{2}{3} \]
2) \(\dfrac{12}{18}\)
\[ \dfrac{12}{18}=\dfrac{12:6}{18:6}=\dfrac{2}{3} \]
3) \(\dfrac{24}{48}\)
\[ \dfrac{24}{48}=\dfrac{24:24}{48:24}=\dfrac{1}{2} \]
Ответ:
\[ \boxed{\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3},\quad \dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3},\quad \dfrac{24}{48}=\dfrac{1}{2}} \]
Проверка: \(2/3\) и \(1/2\) уже несократимые, потому что числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме \(1\).
Сократи нормаль что бы я поняла
Хорошо, объясню по-простому и по шагам.
Что значит «сократить дробь»
Сократить дробь — значит разделить и верхнее, и нижнее число на одно и то же число. При этом значение дроби не меняется, она просто записывается короче.
Сокращать можно до тех пор, пока верх и низ делятся на что-то общее. Когда общих делителей, кроме \(1\), больше нет — дробь сокращена полностью.
1) Дробь \(\dfrac{10}{15}\)
Смотрим на числа: \(10\) и \(15\). Оба делятся на \(5\) (заканчиваются на \(0\) и на \(5\)).
Делим верх и низ на \(5\):
\[ \frac{10:5}{15:5}=\frac{2}{3} \]
Проверяем: \(2\) и \(3\) общих делителей не имеют. Всё, готово.
\[ \boxed{\frac{10}{15}=\frac{2}{3}} \]
2) Дробь \(\dfrac{12}{18}\)
Тут можно сокращать в два приёма — так проще считать.
Первый шаг: оба числа чётные, делим на \(2\):
\[ \frac{12:2}{18:2}=\frac{6}{9} \]
Второй шаг: \(6\) и \(9\) делятся на \(3\):
\[ \frac{6:3}{9:3}=\frac{2}{3} \]
\[ \boxed{\frac{12}{18}=\frac{2}{3}} \]
Можно было сразу делить на \(6\) — результат тот же.
3) Дробь \(\dfrac{24}{48}\)
Заметно, что \(48\) — это ровно два раза по \(24\). Значит, оба числа делятся на \(24\):
\[ \frac{24:24}{48:24}=\frac{1}{2} \]
Если сразу на \(24\) делить страшно, делаем постепенно:
\[ \frac{24}{48}\;\xrightarrow{:2}\;\frac{12}{24}\;\xrightarrow{:2}\;\frac{6}{12}\;\xrightarrow{:2}\;\frac{3}{6}\;\xrightarrow{:3}\;\frac{1}{2} \]
\[ \boxed{\frac{24}{48}=\frac{1}{2}} \]
Как это делать самому — короткое правило
- Посмотри, на что делятся оба числа (на \(2\), \(3\), \(5\) — по признакам делимости).
- Раздели верх и низ на это число.
- Посмотри на новую дробь — если снова есть общий делитель, сократи ещё раз.
- Остановись, когда сокращать больше нечем.
Ответ:
\[ \boxed{\frac{10}{15}=\frac{2}{3},\qquad \frac{12}{18}=\frac{2}{3},\qquad \frac{24}{48}=\frac{1}{2}} \]
