386?

Кратко. В равнобедренной трапеции \(ABCD\), где \(AD\parallel BC\) и \(AB=CD\):

\[ \angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C, \] \[ AC=BD. \]

Почему это так

а) Углы при каждом основании равны.

Проведём высоты \(BH\) и \(CK\) к прямой \(AD\). Тогда \(BH=CK\), потому что это расстояния между параллельными прямыми \(AD\) и \(BC\).

Прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(DCK\) равны по гипотенузе и катету:

• \(AB=CD\) — боковые стороны равнобедренной трапеции;
• \(BH=CK\) — высоты.

Значит, соответствующие углы равны:

\[ \angle BAD=\angle CDA. \]

Теперь учтём, что \(AD\parallel BC\). Тогда внутренние односторонние углы дают в сумме \(180^\circ\):

\[ \angle ABC=180^\circ-\angle BAD, \] \[ \angle BCD=180^\circ-\angle CDA. \]

Так как \(\angle BAD=\angle CDA\), получаем:

\[ \angle ABC=\angle BCD. \]

То есть углы при каждом основании действительно равны.

б) Диагонали равны.

Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(DCA\):

• \(AB=CD\);
• \(AD\) — общая сторона;
• \(\angle BAD=\angle CDA\), это мы только что доказали.

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, соответствующие стороны равны:

\[ BD=AC. \]

То есть диагонали равнобедренной трапеции равны.

Что запомнить: равенство боковых сторон сначала «переводим» в равенство углов с помощью равных прямоугольных треугольников, а равенство диагоналей доказываем через равенство треугольников \(ABD\) и \(DCA\).