Реши задачу номер 93 и 96
Краткий ответ
- а) \(R=4\) см; б) \(r=2\) см.
- а) \(R=8\) см; б) \(r=8\sqrt3-12\) см \(\approx 1{,}86\) см.
Задача 93
Дан равносторонний треугольник со стороной
\[
a=4\sqrt3\text{ см}.
\]
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают, а центры вписанной и описанной окружностей — одна и та же точка. Она делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому если \(h\) — высота, то
\[ R=\frac23h,\qquad r=\frac13h. \]
Найдём высоту:
\[ h=\frac{a\sqrt3}{2} =\frac{4\sqrt3\cdot\sqrt3}{2} =\frac{4\cdot3}{2}=6\text{ см}. \]
Тогда:
\[ R=\frac23\cdot6=4\text{ см}, \] \[ r=\frac13\cdot6=2\text{ см}. \]
Можно сразу применить готовые формулы:
\[ R=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{\sqrt3}=4\text{ см}, \] \[ r=\frac{a}{2\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{2\sqrt3}=2\text{ см}. \]
Проверка: у равностороннего треугольника \(R=2r\):
\[
4=2\cdot2.
\]
Ответ: а) \(4\) см; б) \(2\) см.
Задача 96
Дано:
\[
AB=BC=8\text{ см},\qquad \angle ABC=120^\circ.
\]
Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны:
\[ \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ. \]
Опустим высоту \(BH\) на основание \(AC\). В равнобедренном треугольнике она является также медианой и биссектрисой.
В прямоугольном треугольнике \(ABH\):
\[ \angle A=30^\circ,\qquad AB=8. \]
Против угла \(30^\circ\) лежит катет \(BH\), равный половине гипотенузы:
\[ BH=AB\sin30^\circ=8\cdot\frac12=4\text{ см}. \]
Второй катет:
\[ AH=AB\cos30^\circ=8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3\text{ см}. \]
Тогда всё основание:
\[ AC=2AH=8\sqrt3\text{ см}. \]
Площадь треугольника:
\[ S=\frac12\cdot AC\cdot BH =\frac12\cdot8\sqrt3\cdot4 =16\sqrt3\text{ см}^2. \]
а) Радиус описанной окружности
Для равнобедренного треугольника с боковой стороной \(b\) и высотой \(h\), проведённой к основанию, есть формула
\[ R=\frac{b^2}{2h}. \]
Здесь \(b=8\), \(h=4\), поэтому
\[ R=\frac{8^2}{2\cdot4}=\frac{64}{8}=8\text{ см}. \]
Проверка по теореме синусов:
\[ R=\frac{AC}{2\sin\angle ABC} =\frac{8\sqrt3}{2\sin120^\circ} =\frac{8\sqrt3}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}} =8\text{ см}. \]
б) Радиус вписанной окружности
Используем формулу
\[ r=\frac{S}{p}, \]
где \(p\) — полупериметр.
\[ P=8+8+8\sqrt3=16+8\sqrt3, \] \[ p=\frac{P}{2}=8+4\sqrt3. \]
Тогда
\[ r=\frac{16\sqrt3}{8+4\sqrt3} =\frac{4\sqrt3}{2+\sqrt3}. \]
Умножим числитель и знаменатель на \(2-\sqrt3\):
\[ r=\frac{4\sqrt3(2-\sqrt3)}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)} =4\sqrt3(2-\sqrt3) =8\sqrt3-12. \]
То есть
\[ r=8\sqrt3-12\text{ см}\approx1{,}86\text{ см}. \]
Можно записать и так:
\[ r=4(2\sqrt3-3)\text{ см}. \]
Проверка: \(r>0\), так как \(2\sqrt3\approx3{,}46>3\), и \(R>r\).
Ответ: а) \(8\) см; б) \(8\sqrt3-12\) см \(\approx1{,}86\) см.
Что важно понять
- Для равностороннего треугольника удобно помнить:
\[ R=\frac{a}{\sqrt3},\qquad r=\frac{a}{2\sqrt3},\qquad R=2r. \] - Для равнобедренного треугольника часто помогает высота к основанию: она даёт два прямоугольных треугольника с углами \(30^\circ\) и \(60^\circ\).
- Радиус вписанной окружности ищется через площадь и полупериметр: \[ r=\frac{S}{p}. \]
- Радиус описанной окружности можно найти через стороны и площадь: \[ R=\frac{abc}{4S}, \] а для равнобедренного треугольника — по формуле \(R=\dfrac{b^2}{2h}\).
