Реши задание на изображении

Это продолжение той же темы — сложение алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями.

\[ \frac{2x^2}{x+y}+\frac{3y}{x+y} = \frac{2x^2+3y}{x+y} \]

Кратко по шагам:

1. Знаменатели одинаковые: \(x+y\).
2. Складываем числители: \[ 2x^2+3y \]
3. Знаменатель оставляем прежним: \[ \boxed{\frac{2x^2+3y}{x+y}} \]

Сократить эту дробь нельзя.
Обязательное условие: \(x+y\neq 0\), то есть \(x\neq -y\).

Это продолжение текущей темы — сложение алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями.

\[ \frac{y+5}{2x^2y+2xy^2}+\frac{x-5}{2x^2y+2xy^2} \]

1. Знаменатели одинаковые, складываем числители:

\[ =\frac{(y+5)+(x-5)}{2x^2y+2xy^2} =\frac{x+y}{2x^2y+2xy^2} \]

2. Разложим знаменатель на множители:

\[ 2x^2y+2xy^2=2xy(x+y) \]

3. Получаем:

\[ \frac{x+y}{2xy(x+y)} \]

4. Сокращаем на \(x+y\):

\[ \boxed{\frac{1}{2xy}} \]

Условия, при которых выражение имеет смысл: \(x\neq0,\ y\neq0,\ x+y\neq0\).

Это продолжение текущей учебной цели: та же тема — алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, только теперь нужно выполнить вычитание.

\[ \frac{c}{ab}-\frac{c-a}{ab} = \frac{c-(c-a)}{ab} \]

Раскрываем скобки в числителе:

\[ \frac{c-c+a}{ab}=\frac{a}{ab} \]

Сокращаем на \(a\):

\[ \boxed{\frac{1}{b}} \]

Важно: знаменатель \(ab\neq0\), поэтому \(a\neq0\) и \(b\neq0\).

Ключевой момент — при вычитании дроби \(\frac{c-a}{ab}\) из числителя вычитается всё выражение \(c-a\), поэтому скобки обязательны.

Это продолжение той же темы — вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями.

\[ \frac{5x+2y}{x+y}-\frac{4x-2y}{x+y} = \frac{5x+2y-(4x-2y)}{x+y} \]

Раскрываем скобки в числителе:

\[ \frac{5x+2y-4x+2y}{x+y} = \frac{x+4y}{x+y} \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{x+4y}{x+y}} \]

Это выражение не сокращается. Оно имеет смысл при \(x+y\neq0\), то есть \(x\neq -y\).

Главное — не потерять знак: вычитаем всю дробь, поэтому \(-(4x-2y)=-4x+2y\), и \(2y\) в числителе складывается с ещё одним \(2y\).

Это продолжение текущей учебной цели — та же тема «Сложение и вычитание алгебраических дробей», задание из того же раздела.

\[ \frac{x+2}{x^2-xy}-\frac{y+2}{x^2-xy} \]

1. Знаменатели одинаковые, поэтому записываем разность числителей:

\[ =\frac{(x+2)-(y+2)}{x^2-xy} \]

2. Раскрываем скобки и приводим подобные:

\[ =\frac{x+2-y-2}{x^2-xy} =\frac{x-y}{x^2-xy} \]

3. Разложим знаменатель на множители:

\[ x^2-xy=x(x-y) \]

4. Получим:

\[ \frac{x-y}{x(x-y)} \]

5. Сокращаем на \(x-y\):

\[ \boxed{\frac{1}{x}} \]

Ответ: \(\boxed{\dfrac{1}{x}}\)

Условие существования выражения: \(x\neq0\), \(x\neq y\).

Это продолжение текущей темы — то же задание «Сложение алгебраических дробей», но здесь знаменатели противоположны.

\[ \frac{3x}{y-x}+\frac{3y}{x-y} \]

Заметим, что

\[ y-x=-(x-y) \]

Поэтому

\[ \frac{3x}{y-x}=-\frac{3x}{x-y} \]

Тогда

\[ \frac{3x}{y-x}+\frac{3y}{x-y} = -\frac{3x}{x-y}+\frac{3y}{x-y} = \frac{-3x+3y}{x-y} \]

Вынесем \(3\) в числителе:

\[ \frac{3(y-x)}{x-y} = \frac{3\cdot(-(x-y))}{x-y} = -3 \]

Ответ:

\[ \boxed{-3} \]

В поле нужно ввести: -3.
Выражение имеет смысл при \(x\neq y\).

Это продолжение той же темы — задание №7 на вычитание алгебраических дробей, только знаменатели противоположны.

\[ \frac{y}{36-y^2}-\frac{6}{y^2-36} \]

Ответ: \(\boxed{\dfrac{1}{6-y}}\) (то же самое, что \(\boxed{-\dfrac{1}{y-6}}\)).

Решение:

1. Замечаем, что знаменатели противоположны: \[ y^2-36=-(36-y^2) \]
2. Поэтому перед второй дробью знак меняется на «плюс»: \[ -\frac{6}{y^2-36}=-\frac{6}{-(36-y^2)}=+\frac{6}{36-y^2} \]
3. Теперь дроби имеют общий знаменатель: \[ \frac{y}{36-y^2}+\frac{6}{36-y^2} =\frac{y+6}{36-y^2} \]
4. Раскладываем знаменатель по формуле разности квадратов: \[ 36-y^2=(6-y)(6+y) \]
5. Получаем и сокращаем на \(6+y\): \[ \frac{y+6}{(6-y)(6+y)}=\frac{1}{6-y} \]

Проверка: при \(y=0\) исходное выражение равно \(0-\frac{6}{-36}=\frac16\), и \(\frac{1}{6-0}=\frac16\). Всё верно.

Ограничение: \(y\neq 6\) и \(y\neq -6\).

Это продолжение той же темы — ДЗ №8, вычитание алгебраических дробей. Знаменатели здесь не противоположны, а равны: \((x-1)^2=(1-x)^2\).

Ответ: \[ \boxed{\frac{3x-7}{(x-1)^2}} \]

Решение:

1. Так как \((1-x)^2=(x-1)^2\), знаменатели одинаковые. Записываем разность числителей: \[ \frac{(2x-3)-(4-x)}{(x-1)^2} \]

2. Раскрываем скобки в числителе, меняя знаки у всей второй разности: \[ \frac{2x-3-4+x}{(x-1)^2} \]

3. Приводим подобные: \[ \frac{3x-7}{(x-1)^2} \]

Сокращать не на что: числитель \(3x-7\) с знаменателем не сокращается.

Ограничение: \(x\neq 1\).

Это продолжение текущей темы — задание №9 на вычитание алгебраических дробей.

Ответ: \[ \boxed{1} \]

Решение:

1. Знаменатели равны, так как \[ (4-x)^2=(x-4)^2 \] поэтому записываем разность числителей: \[ \frac{16-7x-(x-x^2)}{(x-4)^2} \]

2. Раскрываем скобки. Перед второй дробью стоит минус, поэтому знаки меняются: \[ \frac{16-7x-x+x^2}{(x-4)^2} \]

3. Приводим подобные в числителе: \[ -7x-x=-8x \] получаем: \[ \frac{x^2-8x+16}{(x-4)^2} \]

4. Числитель сворачиваем по формуле квадрата разности: \[ x^2-8x+16=(x-4)^2 \]

Тогда: \[ \frac{(x-4)^2}{(x-4)^2}=1 \]

В поле ответа: \(\boxed{1}\)

Проверка: при \(x=0\): \[ \frac{16}{16}-\frac{0}{16}=1 \] Всё сходится. Ограничение: \(x\neq4\).

Это продолжение той же темы — задание №10 на сложение алгебраических дробей.

Ответ: \[ \boxed{\frac{1}{x-3}} \]

Решение:

1. Знаменатели противоположны. Так как \[ (3-x)^3=-(x-3)^3, \] вторая дробь меняет знак: \[ \frac{6x}{(3-x)^3}=-\frac{6x}{(x-3)^3} \]

2. Теперь у дробей общий знаменатель: \[ \frac{x^2+9}{(x-3)^3}-\frac{6x}{(x-3)^3} =\frac{x^2+9-6x}{(x-3)^3} \]

3. В числителе узнаём квадрат разности: \[ x^2-6x+9=(x-3)^2 \]

4. Получаем: \[ \frac{(x-3)^2}{(x-3)^3}=\frac{1}{x-3} \]

В поле ответа: \(\boxed{\dfrac{1}{x-3}}\)

Ограничение: \(x\neq 3\).