Реши задачу номер 92

Краткий ответ:
а) \(r=1{,}5\) см;
б) \(r=\dfrac{10}{3}\) см \(=3\dfrac13\) см \(\approx 3{,}33\) см.

Как решать

В ключевой задаче 2 используется формула
\[ S=pr, \] где \(S\) — площадь треугольника, \(p\) — полупериметр, \(r\) — радиус вписанной окружности. Отсюда
\[ r=\frac{S}{p}. \]

Для равнобедренного треугольника высота, проведённая к основанию, делит основание пополам.

а) \(AC=6\), \(BH=4\)

\[ AH=HC=\frac{6}{2}=3 \]

Боковая сторона:

\[ AB=BC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5 \]

Площадь:

\[ S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot6\cdot4=12 \]

Полупериметр:

\[ p=\frac{5+5+6}{2}=8 \]

Радиус:

\[ r=\frac{S}{p}=\frac{12}{8}=1{,}5 \text{ см} \]

б) \(AC=10\), \(AB=BC=13\)

\[ AH=\frac{10}{2}=5 \]

Высота:

\[ BH=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12 \]

Площадь:

\[ S=\frac12\cdot10\cdot12=60 \]

Полупериметр:

\[ p=\frac{10+13+13}{2}=18 \]

Радиус:

\[ r=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}=3\frac13 \text{ см} \]

Проверка формулой для равнобедренного треугольника

Если основание \(a\), боковая сторона \(b\), высота \(h\), то

\[ r=\frac{ah}{a+2b} \]

а) \(\frac{6\cdot4}{6+10}=\frac{24}{16}=1{,}5\)

б) \(\frac{10\cdot12}{10+26}=\frac{120}{36}=\frac{10}{3}\)

Всё сходится.