Дорешать

Ответ: \(x=7\). Корень подходит, так как в ОДЗ входит.

Что осталось дорешать в проверке

При \(x=7\): \[ \log_6(7-1)-\log_6(7-4)= \log_6 6-\log_6 3= \log_6\frac63=\log_6 2. \] Если правая часть была \(1-\log_6 3\), то \[ 1-\log_6 3=\log_6 6-\log_6 3=\log_6 2. \] Значит, левая и правая части равны. Проверка прошла.

Почему получился такой ответ

ОДЗ: \[ x-1>0,\qquad x-4>0 \quad\Rightarrow\quad x>4. \]

Разность логарифмов сворачивается: \[ \log_6(x-1)-\log_6(x-4)=\log_6\frac{x-1}{x-4}. \]

После упрощения правой части получаем: \[ \log_6\frac{x-1}{x-4}=\log_6 2. \]

Логарифм с основанием \(6\) — возрастающая функция, поэтому можно приравнять аргументы: \[ \frac{x-1}{x-4}=2. \]

Далее: \[ x-1=2(x-4), \] \[ x-1=2x-8, \] \[ x=7. \]

Проверяем ОДЗ: \(7>4\), значит корень допустим.

Итог: \(x=7\).

На похожих заданиях главное: сначала выписать ОДЗ, затем свернуть сумму или разность логарифмов по формулам, а после «снятия» логарифмов обязательно проверить корни по ОДЗ.