Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$
Как это получается
Способ 1. Разложение на множители (самый быстрый).
Ищем два числа, которые в сумме дают $5$ (с противоположным знаком к $-5x$), а в произведении — $6$ (свободный член). Это $2$ и $3$:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой:
$$x-2=0 \Rightarrow x=2; \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3$$
Способ 2. Через дискриминант (работает всегда).
$$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$$
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}$$
$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$
Способ 3. Теорема Виета (для приведённого уравнения $x^2+px+q=0$):
$$x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6$$
Подбор даёт те же $2$ и $3$.
Проверка
- $x=2$: $4-10+6=0$ ✔
- $x=3$: $9-15+6=0$ ✔
Принцип, который стоит запомнить
- Если уравнение вида $x^2+px+q=0$ и корни целые — почти всегда быстрее всего подобрать их по Виету (сумма $=-p$, произведение $=q$).
- Если подбор не идёт (корни дробные или иррациональные) — считай дискриминант: $D>0$ — два корня, $D=0$ — один, $D<0$ — корней нет.
- Разложение $(x-x_1)(x-x_2)$ — это тот же результат, только записанный иначе: полезно для проверки.
Обсуждение
8 сообщенийА если дискриминант отрицательный, что тогда?
Краткий ответ
Если $D<0$, то действительных корней нет — в 8 классе на этом решение и заканчивается, ответ записывают так: «корней нет» (или «уравнение не имеет решений в действительных числах»).
Но если вы уже знакомы с комплексными числами, корни всё равно есть — их два, и они комплексно-сопряжённые:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a},\qquad i^2=-1$$
Что происходит по шагам
1. Почему «нет корней». Формула содержит $\sqrt{D}$. Среди действительных чисел из отрицательного числа корень не извлекается — значит, ни одного действительного $x$ не существует.
2. Геометрический смысл. График $y=x^2-5x+6$ — парабола. Корни уравнения — это точки, где она пересекает ось $Ox$:
- $D>0$ — две точки пересечения;
- $D=0$ — одна (вершина касается оси);
- $D<0$ — парабола целиком выше или ниже оси $Ox$ и с ней не пересекается.
3. Комплексные корни. Вводим $i=\sqrt{-1}$. Тогда $\sqrt{D}=\sqrt{-|D|}=i\sqrt{|D|}$, и формула даёт два корня.
Пример: $x^2-4x+13=0$
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 13=16-52=-36<0$$
Действительных корней нет. Комплексные:
$$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$$
То есть $x_1=2+3i$, $x_2=2-3i$.
Проверка (для комплексных корней)
Для $x=2+3i$:
$$(2+3i)^2-4(2+3i)+13=(4+12i+9i^2)-8-12i+13$$
Учитывая $i^2=-1$: $4+12i-9-8-12i+13=0$ ✔
Кстати, теорема Виета работает и здесь: $(2+3i)+(2-3i)=4$, а $(2+3i)(2-3i)=4-9i^2=4+9=13$ — как и должно быть.
Что запомнить
| Дискриминант | Действительных корней | Комплексных корней |
|---|---|---|
| $D>0$ | 2 | 2 (действительные) |
| $D=0$ | 1 | 1 (кратный) |
| $D<0$ | 0 | 2 сопряжённых |
Главное: знак $D$ отвечает на вопрос «сколько корней и какие», а не «есть ли решение вообще» — всё зависит от того, в каком числовом множестве мы работаем.
Давай о чём нибудь поговорим???
Что такое полежи?
Скорее всего, вы имеете в виду слово «полежи» — это форма повелительного наклонения глагола полежать: «полежи немного» = «проведи некоторое время лёжа, отдохни».
Разбор: по- + леж- (корень -леж-, как в лежать, лежак, залежь) + -и (окончание повелительного наклонения).
Если же речь о другом слове — например, из текста или задачи, — напишите его целиком или пришлите предложение, и я объясню.
А если дискриминант отрицательный, что тогда?
Отвечу коротко, потому что подробно мы это уже разобрали:
- В действительных числах: корней нет, так и пишем в ответе — «корней нет».
- Почему: в формуле $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ надо извлечь $\sqrt{D}$, а из отрицательного числа действительный корень не извлекается.
- На графике: парабола не пересекает ось $Ox$ (лежит целиком выше или ниже неё).
- С комплексными числами: корни есть, их два: $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}$, где $i^2=-1$.
Например, $x^2+4=0$: $D=-16<0$ — действительных корней нет, комплексные $x=\pm 2i$.
Скажи, какой именно шаг непонятен — формула, график или комплексные числа, — и разберу его подробнее. А если хочешь, дам пару примеров с $D<0$ для тренировки.
