Реши

1. \(\sin\alpha=0{,}8\) — если угол острый; без этого условия \(\sin\alpha=\pm0{,}8\).

2. \(AC=3\).

3. \(c=\sqrt{39}\).

4. \(\cos M=0{,}8=\dfrac45\).

Ниже — задачи 157–167. Принято: \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}\), \(R_З\approx 6400\ \text{км}\), \(g_З\approx 9{,}8\ \text{м/с}^2\).

---

157. Дано: \(k=100\ \text{кН/м}=10^5\ \text{Н/м}\), \(m=2\ \text{т}=2000\ \text{кг}\), \(a=0{,}5\ \text{м/с}^2\).
Найти: \(\Delta l\).

\[ F=ma=2000\cdot0{,}5=1000\ \text{Н} \] \[ \Delta l=\frac{F}{k}=\frac{1000}{10^5}=0{,}01\ \text{м} \]

Ответ: \(1\ \text{см}\).

---

158. Дано: \(m_1=m_2=10\,000\ \text{т}=10^7\ \text{кг}\), \(r=100\ \text{м}\).
Найти: \(F\).

\[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2} =6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{(10^7)^2}{100^2} \approx0{,}67\ \text{Н} \]

Ответ: \(F\approx0{,}67\ \text{Н}\), порядок — \(1\ \text{Н}\).
Силу можно оценить лишь по порядку, потому что корабли нельзя считать точечными телами, а их массы и расстояние приблизительны.

---

159. Дано:
\(M_З=5{,}98\cdot10^{24}\ \text{кг}\),
\(M_Л=7{,}35\cdot10^{22}\ \text{кг}\),
\(r=3{,}84\cdot10^8\ \text{м}\).
Найти: \(F\).

\[ F=G\frac{M_ЗM_Л}{r^2} \approx6{,}67\cdot10^{-11}\cdot \frac{5{,}98\cdot10^{24}\cdot7{,}35\cdot10^{22}}{(3{,}84\cdot10^8)^2} \approx2\cdot10^{20}\ \text{Н} \]

Ответ: \(F\approx2\cdot10^{20}\ \text{Н}\).

---

160. Дано: \(h_1=R\), \(h_2=5R\).
Найти: во сколько раз уменьшится сила.

На поверхности: \[ F_0=G\frac{Mm}{R^2} \]

На высоте \(h\): \[ F=G\frac{Mm}{(R+h)^2} \]

\[ \frac{F_0}{F}=\left(\frac{R+h}{R}\right)^2 \]

При \(h=R\): \[ \frac{F_0}{F}=2^2=4 \]

При \(h=5R\): \[ \frac{F_0}{F}=6^2=36 \]

Ответ: в \(4\) раза и в \(36\) раз.

---

161. Дано: \(\dfrac{F_0}{F}=100\).
Найти: \(h\) — высоту над поверхностью Земли.

\[ 100=\left(\frac{R+h}{R}\right)^2 \] \[ \frac{R+h}{R}=10 \] \[ h=9R \]

При \(R\approx6400\ \text{км}\): \[ h\approx9\cdot6400=57\,600\ \text{км} \]

Ответ: \(h=9R\approx5{,}76\cdot10^4\ \text{км}\).

---

162. Дано: \(r=1{,}5\cdot10^5\ \text{км}\), \(R_З\approx6400\ \text{км}\).
Найти: \(\dfrac{F_0}{F}\).

\[ \frac{F_0}{F}=\left(\frac{r}{R_З}\right)^2 =\left(\frac{1{,}5\cdot10^5}{6400}\right)^2 \approx550 \]

Ответ: примерно в \(5{,}5\cdot10^2\) раз.

---

163. Дано: \(h=\dfrac{R}{2}\).
Найти: \(g_h\).

\[ g_h=g_З\left(\frac{R}{R+h}\right)^2 \]

\[ g_h=9{,}8\left(\frac{R}{1{,}5R}\right)^2 =\frac{9{,}8}{2{,}25} \approx4{,}4\ \text{м/с}^2 \]

Ответ: \(g_h\approx4{,}4\ \text{м/с}^2\).

---

164. Дано:
\(\dfrac{R_Л}{R_З}=\dfrac1{3{,}8}\),
\(\dfrac{M_Л}{M_З}=\dfrac1{81}\).
Найти: во сколько раз сила притяжения на Луне меньше.

\[ \frac{F_З}{F_Л} =\frac{M_З}{M_Л}\cdot\left(\frac{R_Л}{R_З}\right)^2 \]

\[ \frac{F_З}{F_Л} =81\cdot\left(\frac1{3{,}8}\right)^2 \approx5{,}6 \]

Ответ: примерно в \(5{,}6\) раза меньше.

---

165. Дано:
\(\dfrac{R_M}{R_З}=0{,}53\),
\(\dfrac{M_M}{M_З}=0{,}11\).
Найти: \(g_M\).

\[ g_M=g_З\cdot \frac{M_M/M_З}{(R_M/R_З)^2} \]

\[ g_M=9{,}8\cdot\frac{0{,}11}{0{,}53^2} \approx3{,}8\ \text{м/с}^2 \]

Ответ: \(g_M\approx3{,}8\ \text{м/с}^2\).

---

166. Дано:
расстояние между центрами \(d=60R\),
\(M_Л=\dfrac{M_З}{81}\).
Найти: точку, где силы притяжения к Земле и Луне равны.

Пусть искомая точка находится на расстоянии \(x\) от центра Земли. Тогда от Луны: \[ d-x=60R-x \]

\[ G\frac{M_Зm}{x^2} = G\frac{M_Лm}{(60R-x)^2} \]

\[ \frac{1}{x^2} = \frac{1}{81(60R-x)^2} \]

\[ x=9(60R-x) \] \[ x=54R \]

Ответ: на расстоянии \(54R\) от центра Земли, то есть \(6R\) от центра Луны (между ними).

---

167. Дано:
\(\rho=5200\ \text{кг/м}^3\),
\(R=6100\ \text{км}=6{,}1\cdot10^6\ \text{м}\).
Найти: \(g\).

\[ g=\frac{GM}{R^2} \]

Так как \[ M=\frac43\pi R^3\rho, \] то \[ g=\frac43\pi G\rho R \]

\[ g=\frac43\pi\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5200\cdot6{,}1\cdot10^6 \approx8{,}9\ \text{м/с}^2 \]

Ответ: \(g\approx8{,}9\ \text{м/с}^2\).