Реши задание на изображении
Кратко
- №19: \(x=-1\).
- №20:
\[ x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty). \] Запись в тетради верная: обе точки \(-1\) и \(5\) выколоты.
№19. \((x-1)^3=-8\)
Представим правую часть как куб: \[ -8=(-2)^3. \] Получаем: \[ (x-1)^3=(-2)^3. \] Куб — монотонная функция, поэтому из равенства кубов следует равенство самих чисел: \[ x-1=-2, \] \[ x=-1. \]
Проверка: \[ (-1-1)^3=(-2)^3=-8. \] Всё верно. Здесь не появляется \(\pm\), потому что кубический корень из отрицательного числа один: \(\sqrt[3]{-8}=-2\).
№20. \(\dfrac{x^2+2x+1}{x^2-4x-5}\ge 0\)
Сначала разложим числитель и знаменатель: \[ x^2+2x+1=(x+1)^2, \] \[ x^2-4x-5=(x-5)(x+1). \]
Тогда: \[ \frac{(x+1)^2}{(x-5)(x+1)}\ge 0. \]
Важный момент: ОДЗ
Знаменатель не равен нулю: \[ (x-5)(x+1)\ne 0, \] поэтому \[ x\ne 5,\qquad x\ne -1. \]
При \(x=-1\) и числитель, и знаменатель обращаются в нуль: \[ \frac{0}{0} \] — выражение не определено. Поэтому \(x=-1\) не включается, хотя числитель там равен нулю.
При \(x\ne -1\) можно сократить на \(x+1\): \[ \frac{x+1}{x-5}\ge 0, \] но условие \(x\ne -1\) всё равно нужно помнить.
Отмечаем на числовой прямой выколотые точки \(-1\) и \(5\):
- при \(x<-1\): числитель и знаменатель отрицательны, дробь положительна;
- при \(-1<x<5\): дробь отрицательна;
- при \(x>5\): дробь положительна.
Получаем: \[ x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty). \]
Проверка
Возьмём \(x=-2\): \[ \frac{(-2)^2+2(-2)+1}{(-2)^2-4(-2)-5} =\frac{1}{7}>0. \] Возьмём \(x=0\): \[ \frac{1}{-5}<0. \] Возьмём \(x=6\): \[ \frac{49}{7}=7>0. \] Знаки действительно чередуются так, как на рисунке.
