Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$
Ответ: 2 и 3.
Как рассуждать (3 способа — принцип один)
1. Через дискриминант (универсальный способ)
Для $ax^2+bx+c=0$ считаем $D=b^2-4ac$:
$$D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$
$D>0$ — значит, корней два:
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm1}{2}$$
$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$
2. Через теорему Виета (быстро, когда $a=1$)
Для приведённого уравнения $x^2+px+q=0$: $$x_1+x_2=-p=5,\qquad x_1\cdot x_2=q=6$$
Подбираем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.
3. Разложением на множители
Ищем два числа, дающие в сумме $-5$, а в произведении $6$: это $-2$ и $-3$.
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: $x=2$ или $x=3$.
Проверка
- $x=2$: $4-10+6=0$ ✔
- $x=3$: $9-15+6=0$ ✔
Принцип на будущее: сначала посмотри на $D$ (или на $a=1$ + Виета). Если $D<0$ — корней нет; $D=0$ — один корень $x=-b/(2a)$; $D>0$ — два корня по формуле. Корни всегда подставляй обратно в уравнение — это ловит почти все ошибки.
Обсуждение
2 сообщенияА если дискриминант получился отрицательным?
Краткий ответ
Если $D<0$, то в действительных числах корней нет — уравнение не имеет решения. Так и пишут в ответе: «корней нет» (или «решений нет»).
Но это не «ошибка в счёте»: отрицательный дискриминант — законный результат, у него есть понятный смысл.
Пример
$$x^2-2x+5=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16<0$$
Корней нет. Проверим двумя способами, почему.
1. Через выделение полного квадрата
$$x^2-2x+5=(x^2-2x+1)+4=(x-1)^2+4$$
Уравнение превращается в $(x-1)^2=-4$. Но квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $(x-1)^2=-4$ невозможно. Вот откуда «нет корней»: формула корней требует $\sqrt{D}$, а из отрицательного числа в действительных числах корень не извлекается.
2. Геометрически
График $y=x^2-2x+5$ — парабола ветвями вверх, её вершина в точке $(1;,4)$. Вся парабола лежит выше оси $Ox$ и не пересекает её — значит, $y=0$ нигде не достигается.
Как связаны знак $D$ и график
| $D$ | Корни | Парабола и ось $Ox$ |
|---|---|---|
| $D>0$ | два разных | пересекает в двух точках |
| $D=0$ | один (двойной) $x=-\frac{b}{2a}$ | касается оси в вершине |
| $D<0$ | нет действительных | не пересекает ось |
Если нужны комплексные числа
Иногда (в старших классах) просят корни и при $D<0$ — тогда используют мнимую единицу $i$, где $i^2=-1$:
$$x=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm4i}{2}=1\pm2i$$
То есть $x_1=1+2i$, $x_2=1-2i$. Это комплексные (не действительные) корни.
Принцип: сначала посмотри на условие задачи — в каких числах просят ответ. Если речь о действительных числах (обычный школьный случай), при $D<0$ просто пишешь «корней нет» и можешь для проверки показать, что левая часть всегда положительна (или всегда отрицательна).
