Реши 142

142.

а) \(\sin 2x=\dfrac{\sqrt2}{2}\)
\[ x=\frac{\pi}{8}+\pi k \quad \text{или}\quad x=\frac{3\pi}{8}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]

б) \(\sin\dfrac{x}{4}=\dfrac12\)
\[ x=\frac{2\pi}{3}+8\pi k \quad \text{или}\quad x=\frac{10\pi}{3}+8\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]

Как решать

Главное правило: \[ \sin t=a \quad\Rightarrow\quad t=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. \]

а) Обозначим \(t=2x\). Тогда \[ \sin 2x=\frac{\sqrt2}{2}. \] Так как \(\arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4}\), получаем: \[ 2x=\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad 2x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k. \] Делим обе части на \(2\): \[ x=\frac{\pi}{8}+\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{3\pi}{8}+\pi k. \]

Можно записать одной формулой: \[ x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}. \]

б) Обозначим \(t=\frac{x}{4}\). Тогда \[ \sin\frac{x}{4}=\frac12. \] Так как \(\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}\): \[ \frac{x}{4}=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad\text{или}\quad \frac{x}{4}=\frac{5\pi}{6}+2\pi k. \] Умножаем на \(4\): \[ x=\frac{2\pi}{3}+8\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{10\pi}{3}+8\pi k. \]

Одной формулой: \[ x=(-1)^n\frac{2\pi}{3}+4\pi n. \]

Проверка

Например, для а) при \(x=\frac{\pi}{8}\): \[ \sin 2x=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}. \] Для б) при \(x=\frac{2\pi}{3}\): \[ \sin\frac{x}{4}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12. \]

Важно: коэффициент перед \(x\) меняет период. У \(\sin 2x\) решения повторяются через \(\pi\), а у \(\sin\frac{x}{4}\) — через \(8\pi\).