Реши

Кратко — ответы
\(k\in\mathbb Z\).

1. \(\cos x+2=0\) — решений нет.
2. \(\sin 3x=\frac12\): \[ x=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}. \]
3. \(2\cos x+1=0\): \[ x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k. \]
4. \(\sin 2x=0\): \[ x=\frac{\pi k}{2}. \]
5. \(\sqrt3\,\operatorname{tg}2x+1=0\): \[ x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}. \]

Как решать

1. \(\cos x=-2\). Но косинус принимает значения только от \(-1\) до \(1\), поэтому решений нет.

2. \[ 3x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad\text{или}\quad 3x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k. \] Делим на \(3\).

3. \[ \cos x=-\frac12 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k. \]

4. \[ 2x=\pi k \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi k}{2}. \]

5. \[ \operatorname{tg}2x=-\frac1{\sqrt3} \quad\Rightarrow\quad 2x=-\frac{\pi}{6}+\pi k, \] отсюда \[ x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}. \]

Проверка идёт подстановкой в исходное уравнение; для тангенса \(x\neq \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\), но найденные значения этому условию не противоречат.