Реши 166 номер

Кратко:

1. \(a=3\cdot 5^2\), \(b=3\cdot 5\cdot 7\)
   \[ \text{НОД}=15,\qquad \text{НОК}=525 \]

2. \(a=2^3\cdot 3^2\cdot 5^4\), \(b=2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\)
   \[ \text{НОД}=900,\qquad \text{НОК}=135\,000 \]

Как это работает

Если числа уже разложены на простые множители, то:

• НОД — берём только общие простые множители, каждый с наименьшим показателем;
• НОК — берём все простые множители, каждый с наибольшим показателем.

1) \(a=3\cdot 5^2\), \(b=3\cdot 5\cdot 7\)

Запишем с показателями:

\[ a=3^1\cdot 5^2,\qquad b=3^1\cdot 5^1\cdot 7^1 \]

НОД:

\[ 3^{\min(1,1)}\cdot 5^{\min(2,1)} =3^1\cdot 5^1=15 \]

НОК:

\[ 3^{\max(1,1)}\cdot 5^{\max(2,1)}\cdot 7^{\max(0,1)} =3\cdot 5^2\cdot 7 \]

\[ 3\cdot 25\cdot 7=525 \]

Проверка:

\[ a=75,\quad b=105 \]

\[ 15\cdot 525=7875=75\cdot 105 \]

Всё верно.

2) \(a=2^3\cdot 3^2\cdot 5^4\), \(b=2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\)

НОД:

\[ 2^{\min(3,2)}\cdot 3^{\min(2,3)}\cdot 5^{\min(4,2)} \]

\[ =2^2\cdot 3^2\cdot 5^2 \]

\[ =4\cdot 9\cdot 25=900 \]

НОК:

\[ 2^{\max(3,2)}\cdot 3^{\max(2,3)}\cdot 5^{\max(4,2)} \]

\[ =2^3\cdot 3^3\cdot 5^4 \]

\[ =8\cdot 27\cdot 625=135\,000 \]

Проверка:

\[ 900\cdot 135\,000=121\,500\,000 \]

И:

\[ a\cdot b=45\,000\cdot 2\,700=121\,500\,000 \]

Значит, ответы верны.