Реши задачи 1-2

Задача 1

Дано:
\(\vec r=(-2;\,0)\) см
Найти: \(|\vec r|\), направление.

Решение:
\[ |\vec r|=\sqrt{(-2)^2+0^2}=2\text{ см} \] Так как \(x<0,\ y=0\), вектор направлен противоположно оси \(Ox\), то есть под углом \(180^\circ\).

Ответ: \(2\) см; против оси \(Ox\).

Задача 2

Дано:
\(s=45\) км
\(v_{\text{тов}}=30\) км/ч
\(\Delta t=0{,}5\) ч — пассажирский вышел позже, прибыли одновременно
Найти: \(v_{\text{пасс}}\).

Решение:
\[ t_{\text{тов}}=\frac{s}{v_{\text{тов}}}=\frac{45}{30}=1{,}5\text{ ч} \] \[ t_{\text{пасс}}=1{,}5-0{,}5=1\text{ ч} \] \[ v_{\text{пасс}}=\frac{s}{t_{\text{пасс}}}=\frac{45}{1}=45\text{ км/ч} \]

Ответ: \(45\) км/ч.

Задача 3

Дано:
\(v_{\text{пасс}}=90\) км/ч,
\(v_{\text{скор}}=120\) км/ч,
\(S=70\) км.

Найти:
\(S_{\text{скор}}\) — расстояние от скорого поезда до разъезда.

Решение:
Поезда сближаются со скоростью: \[ v_{\text{сбл}}=90+120=210\text{ км/ч} \] Время до встречи: \[ t=\frac{70}{210}=\frac13\text{ ч} \] За это время скорый поезд пройдёт: \[ S_{\text{скор}}=120\cdot\frac13=40\text{ км} \] Пассажирский пройдёт: \[ 90\cdot\frac13=30\text{ км} \] Проверка: \(40+30=70\) км.

Ответ: разъезд должен находиться на расстоянии 40 км от скорого поезда (и 30 км от пассажирского).

Задача 4

Дано:
Два мотоцикла движутся равномерно и прямолинейно, причём
\[ v_1>v_2 \]

Построить:
а) графики \(s(t)\);
б) графики \(|v|(t)\).

Решение:
При равномерном движении: \[ s_1=v_1t,\qquad s_2=v_2t \] Поэтому графики пути — прямые, выходящие из начала координат. Так как \(v_1>v_2\), прямая первого мотоцикла идёт круче.

а) График пути \(s(t)\):

s ↑
  │          / 1
  │        /
  │      /
  │    /    / 2
  │  /    /
  │ /   /
  └──────────→ t

б) График модуля скорости \(|v|(t)\): скорости постоянны, поэтому графики — горизонтальные прямые; у первого мотоцикла линия расположена выше.

|v| ↑
    │  ───────── 1  (v₁)
    │  ───────   2  (v₂)
    └──────────────→ t

Ответ: график \(s(t)\) — две прямые из начала координат, у первого мотоцикла наклон больше; график \(|v|(t)\) — две горизонтальные прямые, у первого мотоцикла скорость больше.

Дано:
График \(x(t)\) (рис. 2.24);
\(t_0=0\), \(t_1=2\) с, \(t_2=4\) с;
по графику: \(x(0)=60\) м, \(x(2)=0\) м, \(x(4)=20\) м.

Найти:
\(\Delta r\) — модуль перемещения за \(4\) с;
\(s\) — путь за \(4\) с;
\(v_{\text{ср.п}}\) — среднюю путевую скорость за \(4\) с;
\(|\vec v_{\text{ср}}|\) — модуль средней скорости за \(0{-}4\) с;
\(|\vec v_{\text{ср}}|\) — модуль средней скорости за \(0{-}2\) с.

Решение:

1. Модуль перемещения за \(4\) с: \[ \Delta r=|x(4)-x(0)|=|20-60|=40\ \text{м} \]

2. Путь за \(4\) с: \[ s=|x(2)-x(0)|+|x(4)-x(2)| \] \[ s=60+20=80\ \text{м} \]

3. Средняя путевая скорость: \[ v_{\text{ср.п}}=\frac{s}{t}=\frac{80}{4}=20\ \text{м/с} \]

4. Модуль средней скорости за \(0{-}4\) с: \[ |\vec v_{\text{ср}}|=\frac{\Delta r}{t}=\frac{40}{4}=10\ \text{м/с} \]

5. Модуль средней скорости за \(0{-}2\) с: \[ |\vec v_{\text{ср}}|=\frac{|x(2)-x(0)|}{2}=\frac{60}{2}=30\ \text{м/с} \]

Ответ:
\[ \Delta r=40\ \text{м},\quad s=80\ \text{м}, \] \[ v_{\text{ср.п}}=20\ \text{м/с},\quad |\vec v_{\text{ср}}|_{0-4}=10\ \text{м/с},\quad |\vec v_{\text{ср}}|_{0-2}=30\ \text{м/с}. \]